Restricciones, función objetivo, región factible, optimización - Ejercicios y resumen

Introducción

En esta lección repasamos todo el método de la programación lineal en dos variables, tal como aparece en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales: plantear las restricciones, dibujar la región factible, escribir la función objetivo y encontrar el óptimo.

Explicación

Un problema de programación lineal busca el máximo o el mínimo de una función lineal cuando las variables deben cumplir varias condiciones. Sus elementos son:

• Variables de decisión (x, y): las cantidades que hay que decidir, por ejemplo, unidades fabricadas de cada producto.
• Restricciones: inecuaciones lineales que expresan las limitaciones (horas, materia prima, presupuesto...). Casi siempre se añaden las de no negatividad: x ≥ 0, y ≥ 0.
• Región factible: conjunto de puntos del plano que cumplen todas las restricciones a la vez. Es un polígono convexo (acotado o no).
• Función objetivo: F(x, y) = ax + by, la expresión que queremos maximizar (beneficio, ingresos) o minimizar (coste).

Teorema fundamental: si la región factible es acotada y no vacía, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en algún vértice de la región. Si los alcanza en dos vértices consecutivos, también lo alcanza en todos los puntos del lado que los une: hay infinitas soluciones.

Método paso a paso:

• 1. Definir las variables con sus unidades.
• 2. Escribir las restricciones y la función objetivo.
• 3. Representar cada restricción: se dibuja la recta asociada y se elige el semiplano que cumple la desigualdad (se prueba con un punto, por ejemplo el (0, 0)).
• 4. Calcular los vértices resolviendo los sistemas formados por las rectas que se cortan.
• 5. Evaluar F en cada vértice y elegir el mayor (o el menor) valor.
• 6. Interpretar la solución en el contexto del problema.

Al plantear el problema conviene leer con cuidado expresiones como «al menos» (≥), «como máximo» o «no más de» (≤) y «el doble que» (por ejemplo, x ≥ 2y), porque un signo mal escrito cambia toda la región factible.

Si la región no está acotada, puede no existir máximo (o mínimo); en ese caso se estudia el sentido en que crece F mediante sus rectas de nivel ax + by = k.

Ejemplo

Enunciado: un taller fabrica mesas (x) y sillas (y). Cada mesa necesita 2 horas de montaje y cada silla 1 hora; dispone de 12 horas. En total no puede fabricar más de 8 muebles. Gana 3 € por mesa y 2 € por silla. ¿Cuántas debe fabricar para maximizar el beneficio?

Restricciones: x + y ≤ 8; 2x + y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0. Función objetivo: F(x, y) = 3x + 2y.

Vértices: (0, 0); (6, 0), corte de 2x + y = 12 con y = 0; (0, 8), corte de x + y = 8 con x = 0; y (4, 4), que resulta de restar x + y = 8 a 2x + y = 12, con lo que x = 4 e y = 4.

Evaluación: F(0, 0) = 0; F(6, 0) = 18; F(4, 4) = 12 + 8 = 20; F(0, 8) = 16.

Solución: el beneficio máximo es de 20 €, fabricando 4 mesas y 4 sillas.

Ejercicios