Dominio, asíntotas, extremos, inflexión, gráfica

Dominio, asíntotas, extremos, inflexión y gráfica

Representar una función a mano consiste en reunir información de varias fuentes (dominio, cortes, límites, derivadas) y unirla en un dibujo coherente. Este es el orden de trabajo habitual.

1. Dominio

• Polinomios: dominio ℝ.
• Funciones racionales: ℝ menos los valores que anulan el denominador.
• Raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual que 0.
• Logaritmos: el argumento debe ser mayor que 0.

2. Simetría y cortes con los ejes

Si f(−x) = f(x), f es par (simétrica respecto del eje OY); si f(−x) = −f(x), es impar (simétrica respecto del origen). Cortes: con OY, el punto (0, f(0)) si 0 está en el dominio; con OX, las soluciones de f(x) = 0.

3. Asíntotas

• Verticales x = a: lim_x→a f(x) = ±∞ (al menos por un lado).
• Horizontales y = b: lim_x→±∞ f(x) = b.
• Oblicuas y = mx + n: m = lim f(x)/x (m ≠ 0, finito) y n = lim [f(x) − mx].

4. Monotonía y extremos

Se resuelve f'(x) = 0 y se estudia el signo de f' en cada intervalo: f' > 0 creciente; f' < 0 decreciente. Donde f' pasa de + a − hay un máximo relativo; de − a +, un mínimo relativo.

5. Curvatura e inflexión

Se resuelve f''(x) = 0 y se estudia el signo de f'': si f'' > 0 la gráfica tiene forma ∪ y si f'' < 0, forma ∩. Muchos libros de CCSS llaman convexa a la forma ∪ y cóncava a la ∩, aunque otros usan el criterio contrario: indica siempre la forma. Los puntos donde cambia la curvatura son puntos de inflexión.

6. Gráfica

Se dibujan primero las asíntotas (con línea discontinua), los cortes, los extremos y los puntos de inflexión, y después se traza la curva respetando los intervalos de crecimiento y de curvatura.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (dominios). f(x) = (x + 1)/(x² − 4): el denominador se anula en x = ±2, luego Dom f = ℝ − {−2, 2}. g(x) = √(x − 3): x − 3 ≥ 0, Dom g = [3, +∞). h(x) = ln(x + 5): x + 5 > 0, Dom h = (−5, +∞).

Ejemplo 2 (polinómica). Estudia f(x) = x³ − 3x.

• Dominio ℝ. Es impar, ya que f(−x) = −x³ + 3x = −f(x). No tiene asíntotas (es un polinomio).
• Cortes: x³ − 3x = x(x² − 3) = 0 da x = 0 y x = ±√3 ≈ ±1,73. Puntos (0, 0), (√3, 0) y (−√3, 0).
• f'(x) = 3x² − 3 = 0 da x = ±1. f' > 0 en (−∞, −1) ∪ (1, +∞) (creciente) y f' < 0 en (−1, 1) (decreciente). Máximo relativo (−1, 2); mínimo relativo (1, −2).
• f''(x) = 6x: forma ∩ en (−∞, 0) y forma ∪ en (0, +∞). Punto de inflexión (0, 0).

Ejemplo 3 (racional). Estudia f(x) = x²/(x − 1).

• Dominio: ℝ − {1}. Corte con los ejes: (0, 0).
• Asíntota vertical x = 1: lim_x→1⁺ f(x) = +∞ y lim_x→1⁻ f(x) = −∞.
• No hay horizontal (grado del numerador mayor). Oblicua: m = lim x²/(x² − x) = 1; n = lim [x²/(x − 1) − x] = lim x/(x − 1) = 1. Asíntota y = x + 1.
• f'(x) = (x² − 2x)/(x − 1)² = x(x − 2)/(x − 1)², que se anula en x = 0 y x = 2. Creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞) y decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Máximo relativo (0, 0) y mínimo relativo (2, 4).
• f''(x) = 2/(x − 1)³: negativa para x < 1 (forma ∩) y positiva para x > 1 (forma ∪). No hay punto de inflexión, porque x = 1 no pertenece al dominio.

Observa que el máximo relativo (0, 0) está por debajo del mínimo relativo (2, 4): los extremos relativos son locales y no tienen por qué ordenarse así.

Ejemplo 4 (asíntotas horizontales). f(x) = (3x² − 1)/(x² + 2). El denominador nunca se anula, así que Dom f = ℝ y no hay asíntotas verticales. Los grados de numerador y denominador son iguales, luego lim_x→±∞ f(x) = 3/1 = 3: asíntota horizontal y = 3. Como f(x) − 3 = −7/(x² + 2) < 0 para todo x, la gráfica queda siempre por debajo de la asíntota.

Ejercicios