Dominio, asíntotas, extremos, inflexión, gráfica - Ejercicios y resumen

Introducción

Representar una función a partir de su expresión es uno de los ejercicios más habituales de la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Para hacerlo bien hay que seguir un orden: dominio, asíntotas, monotonía y extremos, curvatura e inflexión y, por último, el dibujo de la gráfica.

Explicación

1. Dominio. Es el conjunto de valores de x para los que f(x) existe. En los polinomios es ℝ. En las funciones racionales se excluyen los valores que anulan el denominador. En las raíces de índice par, el radicando debe ser ≥ 0, y en los logaritmos, el argumento debe ser > 0.

2. Asíntotas.

• Vertical x = a: si el límite de f(x) cuando x → a (por la izquierda o por la derecha) es +∞ o −∞. En las racionales, se buscan entre los valores que anulan el denominador, pero hay que comprobar el límite: si el factor se simplifica, no hay asíntota sino un «agujero» (discontinuidad evitable).
• Horizontal y = b: si el límite de f(x) cuando x → ±∞ es un número b. En las racionales ocurre cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.
• Oblicua y = mx + n: en las racionales aparece cuando el grado del numerador supera en una unidad al del denominador; m = lím f(x)/x y n = lím (f(x) − mx) cuando x → ±∞, o bien se obtiene dividiendo los polinomios. Si hay asíntota horizontal por un lado, no hay oblicua por ese mismo lado.

3. Monotonía y extremos. Se estudia el signo de f'(x): donde f' > 0 la función crece y donde f' < 0 decrece. Los cambios de creciente a decreciente dan máximos relativos, y de decreciente a creciente, mínimos relativos.

4. Curvatura e inflexión. Donde f'' > 0 la gráfica tiene forma de ∪, y donde f'' < 0, forma de ∩. Los puntos del dominio en los que cambia la curvatura son puntos de inflexión.

5. Gráfica. Se dibujan primero las asíntotas con línea discontinua, después los puntos destacados (extremos, inflexiones, cortes con los ejes) y se unen respetando la monotonía y la curvatura.

Ejemplo

Ejemplo 1. Estudia y representa f(x) = x²/(x − 1).

• Dominio: ℝ − {1}.
• Asíntota vertical: x = 1, porque cuando x → 1⁻, f(x) → −∞, y cuando x → 1⁺, f(x) → +∞.
• Horizontal: no tiene (el numerador es de mayor grado). Oblicua: dividiendo, x²/(x − 1) = x + 1 + 1/(x − 1), así que la asíntota oblicua es y = x + 1.
• Monotonía: f'(x) = x(x − 2)/(x − 1)². Es positiva en (−∞, 0) y en (2, +∞), y negativa en (0, 1) y en (1, 2). Máximo relativo en (0, 0) y mínimo relativo en (2, 4).
• Curvatura: f''(x) = 2/(x − 1)³. Es negativa para x < 1 (forma ∩) y positiva para x > 1 (forma ∪). No hay punto de inflexión, porque x = 1 no pertenece al dominio.

Ejemplo 2 (cuidado con las simplificaciones). En f(x) = (x² − 4)/(x − 2) el denominador se anula en x = 2, pero f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 si x ≠ 2. El límite cuando x → 2 es 4, un número: no hay asíntota vertical, sino un agujero en el punto (2, 4).

Ejercicios