Derivación, monotonía, extremos, curvatura, optimización - Ejercicios y resumen

Introducción

La derivada es la herramienta central del análisis de funciones en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Con ella sabemos dónde crece o decrece una función, dónde alcanza sus máximos y mínimos, cómo se curva su gráfica y cómo resolver problemas de optimización (maximizar beneficios, minimizar costes). En esta lección repasamos todo el proceso con ejemplos de tipo PAU.

Explicación

Derivada. La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x = a y mide la tasa de variación instantánea de la función. Reglas básicas: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; (k·f)' = k·f'; (f + g)' = f' + g'; (f·g)' = f'·g + f·g'; (f/g)' = (f'·g − f·g')/g²; (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x.

Monotonía. Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en él; si f'(x) < 0, es decreciente. Para estudiarla:

• Se calcula f'(x) y se resuelve f'(x) = 0 (puntos críticos).
• Se marcan en la recta real esos puntos y los que no están en el dominio.
• Se estudia el signo de f' en cada intervalo.

Extremos relativos. Si f'(a) = 0 y f' pasa de positiva a negativa, en x = a hay un máximo relativo; si pasa de negativa a positiva, un mínimo relativo. También se puede usar la derivada segunda: si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, máximo; si f''(a) > 0, mínimo.

Curvatura. Si f''(x) > 0, la gráfica tiene forma de ∪ (está por encima de sus tangentes); si f''(x) < 0, tiene forma de ∩. Ojo: unos libros llaman «convexa» a la forma ∪ y otros la llaman «cóncava hacia arriba»; usa el criterio de tu profesor y apóyate siempre en el signo de f''. Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de curvatura; en él f''(a) = 0 y f'' cambia de signo.

Optimización. Para maximizar o minimizar una magnitud:

• Se escribe la función que hay que optimizar en términos de una sola variable (usando las condiciones del enunciado).
• Se deriva, se iguala a cero y se resuelve.
• Se comprueba con f'' (o con el signo de f') si es máximo o mínimo y se tienen en cuenta los extremos del intervalo permitido.
• Se responde a la pregunta del enunciado con las unidades adecuadas.

Ejemplo

Ejemplo 1. Estudia f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.

• f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3). Se anula en x = −1 y x = 3.
• Signo de f': positivo en (−∞, −1), negativo en (−1, 3), positivo en (3, +∞). Creciente en (−∞, −1) ∪ (3, +∞) y decreciente en (−1, 3).
• Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 10). Mínimo relativo en (3, f(3)) = (3, −22).
• f''(x) = 6x − 6 = 0 → x = 1. Para x < 1, f'' < 0 (forma ∩); para x > 1, f'' > 0 (forma ∪). Punto de inflexión en (1, −6).

Ejemplo 2 (optimización). El beneficio de una empresa al fabricar x unidades es B(x) = −2x² + 120x − 1000 euros. B'(x) = −4x + 120 = 0 → x = 30. Como B''(x) = −4 < 0, es un máximo. El beneficio máximo es B(30) = −1800 + 3600 − 1000 = 800 euros, fabricando 30 unidades.

Ejercicios