Determinantes, Cramer, Gauss, discusión

Determinantes, regla de Cramer, método de Gauss y discusión de sistemas

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial como A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz columna de incógnitas y B la de términos independientes. Si a A le añadimos la columna B obtenemos la matriz ampliada A*. Los determinantes nos permiten saber si un sistema tiene solución, cuántas tiene y, en algunos casos, calcularla directamente.

1. Determinantes de orden 2 y 3

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada.

• Orden 2: |a b; c d| = a · d − b · c.
• Orden 3 (regla de Sarrus): se suman los productos de la diagonal principal y de sus dos «triángulos» paralelos, y se restan los productos de la diagonal secundaria y de sus dos triángulos: a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.

Propiedades útiles: si una fila (o columna) es nula, o dos filas son iguales o proporcionales, el determinante vale 0; si se intercambian dos filas, cambia de signo; si se multiplica una fila por k, el determinante queda multiplicado por k; y |A · B| = |A| · |B|.

2. Rango de una matriz

El rango es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Con determinantes: es el orden del mayor menor no nulo que se puede formar con la matriz.

3. Teorema de Rouché-Frobenius y discusión

Sea n el número de incógnitas:

• rg(A) = rg(A*) = n: sistema compatible determinado (SCD), solución única.
• rg(A) = rg(A*) < n: sistema compatible indeterminado (SCI), infinitas soluciones.
• rg(A) ≠ rg(A*): sistema incompatible (SI), sin solución.

Discutir un sistema con un parámetro consiste en decir de qué tipo es según el valor del parámetro. En un sistema cuadrado se empieza calculando |A| e igualándolo a cero: para los valores que no anulan |A| el sistema es SCD; los que lo anulan se estudian uno por uno.

4. Regla de Cramer

Si el sistema es cuadrado y |A| ≠ 0, cada incógnita es x_i = |A_i|/|A|, donde A_i es la matriz A con la columna i sustituida por la columna de términos independientes.

5. Método de Gauss

Consiste en transformar la matriz ampliada en una matriz escalonada mediante operaciones entre filas (multiplicar una fila por un número distinto de 0, sumarle a una fila otra multiplicada por un número, intercambiar filas). Después se resuelve de abajo arriba. Si aparece una fila del tipo (0 0 0 | k) con k ≠ 0, el sistema es incompatible.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (determinantes). |2 1; 3 4| = 2 · 4 − 1 · 3 = 5. Para la matriz de filas (1, 2, 0), (3, 1, 2), (1, 0, 1), por Sarrus: 1·1·1 + 2·2·1 + 0·3·0 − 0·1·1 − 1·2·0 − 2·3·1 = 1 + 4 + 0 − 0 − 0 − 6 = −1.

Ejemplo 2 (Cramer). Resolvemos x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2.

• |A| con filas (1, 1, 1), (2, −1, 1), (1, 2, −1): vale 7 ≠ 0, luego es SCD.
• |A_x| (primera columna cambiada por 6, 3, 2) = 7; |A_y| = 14; |A_z| = 21.
• x = 7/7 = 1; y = 14/7 = 2; z = 21/7 = 3. Solución: (1, 2, 3). Comprobación en la primera ecuación: 1 + 2 + 3 = 6.

Ejemplo 3 (Gauss). Resolvemos x + y + z = 1; x + 3y + z = 2; x + y + 3z = 3. Restamos la primera fila a la segunda y a la tercera: 2y = 1 y 2z = 2. Luego y = 1/2, z = 1 y, de la primera ecuación, x = 1 − 1/2 − 1 = −1/2. Solución: (−1/2, 1/2, 1).

Ejemplo 4 (discusión). Discute según a el sistema x + y + z = 1; x + ay + z = 2; x + y + az = 3.

• |A| con filas (1, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a) vale (a − 1)². Se anula solo para a = 1.
• Si a ≠ 1: rg(A) = rg(A*) = 3 = n.º de incógnitas: SCD.
• Si a = 1: las tres ecuaciones tienen el mismo primer miembro, x + y + z, pero valen 1, 2 y 3. rg(A) = 1 y rg(A*) = 2: SI.

Ejercicios