Derivación, monotonía, extremos, curvatura, optimización

Derivación, monotonía, extremos, curvatura y optimización

La derivada f'(a) mide la tasa de variación instantánea de f en x = a. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (a, f(a)). En este tema usamos las derivadas para saber dónde crece o decrece una función, dónde alcanza sus máximos y mínimos, cómo se curva y para resolver problemas de optimización.

1. Reglas de derivación

• (k)' = 0; (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹; (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x.
• Producto: (f · g)' = f' · g + f · g'. Cociente: (f/g)' = (f' · g − f · g')/g².
• Regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Por ejemplo, (ln u)' = u'/u, (e^u)' = u' · e^u y (√u)' = u'/(2√u).

Recta tangente en x = a: y − f(a) = f'(a)(x − a).

2. Monotonía

Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en él; si f'(x) < 0, es decreciente. Para estudiarla: se calculan los puntos donde f'(x) = 0 o no existe, se colocan en la recta junto con los puntos fuera del dominio y se estudia el signo de f' en cada intervalo.

3. Extremos relativos

Si f es derivable y tiene un máximo o mínimo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0 (punto crítico). Para clasificarlo:

• Por el cambio de signo de f': de + a − es máximo; de − a + es mínimo.
• Por la segunda derivada: si f''(a) < 0, máximo; si f''(a) > 0, mínimo.

4. Curvatura y puntos de inflexión

Si f''(x) > 0, la gráfica tiene forma de ∪; si f''(x) < 0, forma de ∩. En muchos libros de Matemáticas CCSS a la forma ∪ se la llama convexa y a la forma ∩, cóncava, pero hay textos que usan los nombres al revés; por eso conviene indicar siempre la forma (∪ o ∩) o seguir el criterio de tu profesor. Un punto de inflexión es aquel en que la curvatura cambia; en él f''(a) = 0 (si existe).

5. Optimización

Pasos: (1) identificar la magnitud que hay que maximizar o minimizar; (2) escribirla en función de una sola variable usando los datos (la «condición»); (3) derivar e igualar a cero; (4) comprobar que es máximo o mínimo y que la solución tiene sentido en el contexto (por ejemplo, longitudes positivas).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (derivadas). f(x) = (2x + 1)/(x − 3). Por la regla del cociente: f'(x) = [2(x − 3) − (2x + 1) · 1]/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)². Y para g(x) = ln(x² + 4), por la regla de la cadena: g'(x) = 2x/(x² + 4).

Ejemplo 2 (recta tangente). Tangente a f(x) = x² en x = 3: f(3) = 9 y f'(x) = 2x, así que f'(3) = 6. Recta: y − 9 = 6(x − 3), es decir, y = 6x − 9.

Ejemplo 3 (estudio completo). f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1.

• f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3), que se anula en x = −1 y x = 3.
• Signo de f': positivo en (−∞, −1), negativo en (−1, 3) y positivo en (3, +∞). f es creciente en (−∞, −1) ∪ (3, +∞) y decreciente en (−1, 3).
• Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 6); mínimo relativo en (3, f(3)) = (3, −26).
• f''(x) = 6x − 6, que se anula en x = 1. Para x < 1, f'' < 0 (forma ∩); para x > 1, f'' > 0 (forma ∪). Punto de inflexión en (1, −10).

Ejemplo 4 (optimización económica). El beneficio de una empresa es B(x) = −x² + 80x − 300 miles de euros, donde x son las unidades producidas (en cientos). B'(x) = −2x + 80 = 0 da x = 40. Como B''(x) = −2 < 0, es un máximo. Producción óptima: 40 cientos de unidades, con beneficio B(40) = −1600 + 3200 − 300 = 1300 miles de euros.

Ejemplo 5 (optimización geométrica). Con 400 m de valla queremos cercar un terreno rectangular de área máxima. Si los lados miden x e y: 2x + 2y = 400, luego y = 200 − x. Área: A(x) = x(200 − x) = 200x − x². A'(x) = 200 − 2x = 0 da x = 100, y A''(x) = −2 < 0 (máximo). El terreno óptimo es un cuadrado de 100 m de lado, con un área de 10 000 m².

Ejercicios