Regla de Laplace, probabilidad condicionada, Bayes - Ejercicios y resumen

Regla de Laplace, probabilidad condicionada y Bayes: resumen

En esta lección repasamos las herramientas básicas para calcular probabilidades y las aplicamos en ejercicios resueltos paso a paso. Antes de empezar, conviene recordar que un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir aunque se repita en las mismas condiciones, que el espacio muestral E es el conjunto de todos los resultados posibles y que un suceso es cualquier subconjunto de E.

1. Regla de Laplace

Si todos los resultados del espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad), la probabilidad de un suceso A es:

P(A) = número de casos favorables / número de casos posibles

Solo se puede usar cuando los resultados son igual de probables: un dado no trucado, una moneda equilibrada, una extracción al azar de una urna, etc. Recuerda también que 0 ≤ P(A) ≤ 1, que P(E) = 1 y que la probabilidad del suceso contrario es P(Ā) = 1 − P(A).

2. Unión de sucesos

Para dos sucesos cualesquiera: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A y B son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez), P(A ∩ B) = 0 y la fórmula se reduce a la suma.

3. Probabilidad condicionada

La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B (con P(B) > 0) es:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

De aquí se obtiene la regla del producto: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B). Es la que usamos en los diagramas de árbol: se multiplican las probabilidades a lo largo de cada rama.

4. Probabilidad total y teorema de Bayes

Si los sucesos A₁, A₂, …, A_n son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio muestral (forman un sistema completo de sucesos), para cualquier suceso B:

• Probabilidad total: P(B) = P(A₁)·P(B | A₁) + … + P(A_n)·P(B | A_n).
• Teorema de Bayes: P(A_i | B) = P(A_i)·P(B | A_i) / P(B).

La probabilidad total responde a «¿qué probabilidad tiene el resultado final?», y Bayes a la pregunta inversa: «sabiendo el resultado, ¿de qué causa procede?».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (Laplace). Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?

Casos posibles: 6 · 6 = 36 parejas, todas equiprobables. Casos favorables: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), es decir, 6. Por tanto, P(suma 7) = 6/36 = 1/6.

Ejemplo 2 (tabla de contingencia). En un grupo de 100 estudiantes hay 60 chicas y 40 chicos. De las chicas, 45 practican deporte; de los chicos, 20.

• P(deporte | chica) = 45/60 = 0,75.
• Practican deporte 45 + 20 = 65 estudiantes, así que P(chica | deporte) = 45/65 = 9/13 ≈ 0,692.

Observa que P(deporte | chica) y P(chica | deporte) son probabilidades distintas: no se deben confundir.

Ejemplo 3 (extracciones sin reemplazamiento). Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se sacan dos bolas sin devolver la primera. ¿Probabilidad de que las dos sean rojas?

P(1.ª roja) = 5/8. Si la primera fue roja, quedan 4 rojas de 7 bolas: P(2.ª roja | 1.ª roja) = 4/7. Por la regla del producto: P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357.

Ejemplo 4 (probabilidad total y Bayes). Una fábrica tiene dos máquinas. La máquina A produce el 60 % de las piezas y el 2 % de ellas son defectuosas; la máquina B produce el 40 % y el 5 % son defectuosas.

• Probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa: P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
• Si una pieza es defectuosa, probabilidad de que venga de A: P(A | D) = 0,012 / 0,032 = 0,375.

Aunque A fabrica más piezas, la mayoría de las defectuosas proceden de B (0,625), porque B falla más.

Ejercicios

Resumen

• Laplace: casos favorables / casos posibles, solo con resultados equiprobables.
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B); en los árboles se multiplica a lo largo de las ramas.
• Probabilidad total: se suman las ramas que llevan al resultado.
• Bayes: rama que nos interesa dividida entre la probabilidad total.