Regla de Laplace, probabilidad condicionada, Bayes

Introducción

La probabilidad mide lo verosímil que es un suceso. Las empresas la usan para estimar riesgos, los médicos para interpretar pruebas diagnósticas y los institutos de estadística para hacer encuestas. En esta lección aprenderás a calcular probabilidades con la regla de Laplace, a trabajar con probabilidades condicionadas y a aplicar los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Conceptos básicos

• Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado no se puede predecir (lanzar un dado).
• Espacio muestral E: conjunto de todos los resultados posibles, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Suceso: subconjunto de E, por ejemplo A = «salir par» = {2, 4, 6}.
• Complementario A': ocurre cuando no ocurre A. P(A') = 1 − P(A).
• Unión A ∪ B (ocurre A o B) e intersección A ∩ B (ocurren los dos). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Regla de Laplace

Si todos los resultados son igualmente probables:

P(A) = casos favorables / casos posibles.

Siempre 0 ≤ P(A) ≤ 1. La regla no sirve si los resultados no son equiprobables (un dado trucado).

Probabilidad condicionada e independencia

La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B es:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0.

De aquí sale la regla del producto: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B). Dos sucesos son independientes si saber que ocurre uno no cambia la probabilidad del otro: P(A|B) = P(A), o lo que es lo mismo, P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol ayudan a organizar estos cálculos.

Probabilidad total y teorema de Bayes

Si A₁, A₂, …, A_n son sucesos que no pueden ocurrir a la vez y cubren todos los casos, para cualquier suceso B:

• Probabilidad total: P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + … + P(A_n)·P(B|A_n).
• Teorema de Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i) / P(B).

Bayes permite «ir hacia atrás»: conocido el resultado B, calcular la probabilidad de cada causa A_i.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (Laplace). Se lanzan dos dados. ¿Probabilidad de que sumen 7?
Hay 6 · 6 = 36 casos posibles. Favorables: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), es decir, 6. P = 6/36 = 1/6.

Ejemplo 2 (condicionada). En una clase de 30 alumnos, 18 practican deporte; de ellos, 12 son chicas. Hay 16 chicas en total. Si se elige al azar una chica, ¿probabilidad de que practique deporte?
P(D|C) = P(D ∩ C)/P(C) = (12/30)/(16/30) = 12/16 = 0,75.

Ejemplo 3 (sin reemplazo). Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se sacan dos sin devolver. P(las dos rojas) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.

Ejemplo 4 (Bayes). Una fábrica tiene dos máquinas: A produce el 60 % de las piezas, con un 2 % defectuosas, y B el 40 %, con un 5 % defectuosas.
Probabilidad total: P(D) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
Si una pieza es defectuosa, ¿probabilidad de que venga de A? P(A|D) = 0,012/0,032 = 0,375. Aunque A fabrica más piezas, una pieza defectuosa procede más probablemente de B (0,625).

Errores frecuentes

• Confundir P(A|B) con P(B|A): la probabilidad de que una pieza defectuosa venga de A no es la probabilidad de que una pieza de A sea defectuosa.
• Aplicar Laplace cuando los resultados no son equiprobables.
• En extracciones sin reemplazamiento, no actualizar el número de bolas tras cada extracción.

Ejercicios