Binomial, Normal, tipificación, tablas

Distribución binomial, distribución normal, tipificación y uso de tablas

Introducción

Muchas situaciones de la vida real dependen del azar: cuántos clientes compran un producto, cuántas piezas salen defectuosas, qué estatura tiene una persona o qué nota saca un alumno. Para estudiarlas usamos variables aleatorias, que asignan un número a cada resultado de un experimento. En este tema estudiamos las dos distribuciones de probabilidad más importantes: la binomial (variable discreta) y la normal (variable continua), y aprendemos a usar la tabla de la normal mediante la tipificación.

La distribución binomial

Un experimento sigue una distribución binomial B(n, p) cuando:

• Se repite n veces el mismo experimento, de forma independiente.
• En cada prueba solo hay dos resultados: éxito (probabilidad p) o fracaso (probabilidad q = 1 − p).
• La probabilidad p es la misma en todas las pruebas.

La variable X = «número de éxitos» puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n, y su probabilidad es:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^n−k, donde C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) es el número combinatorio.

Sus parámetros son la media μ = n·p y la desviación típica σ = √(n·p·q).

Ejemplo 1 (binomial)

El 30% de los clientes de una tienda compra algún producto. Entran 5 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que compren exactamente 2?

X = número de clientes que compran, X ~ B(5; 0,3), q = 0,7.

P(X = 2) = C(5, 2) · 0,3² · 0,7³ = 10 · 0,09 · 0,343 = 0,3087.

Probabilidad de que compre al menos uno: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,7⁵ = 1 − 0,16807 = 0,8319.

Media: μ = 5 · 0,3 = 1,5 clientes; desviación típica: σ = √(5 · 0,3 · 0,7) = √1,05 ≈ 1,02.

La distribución normal

Una variable continua sigue una distribución normal N(μ, σ) cuando su gráfica (la campana de Gauss) tiene estas propiedades:

• Es simétrica respecto a la media μ; en μ coinciden media, mediana y moda.
• El área total bajo la curva vale 1, y la probabilidad de un intervalo es el área bajo la curva en ese intervalo.
• En una variable continua, la probabilidad de un valor exacto es 0, así que P(X ≤ a) = P(X < a).
• Cuanto mayor es σ, más ancha y aplanada es la campana.

Ejemplos típicos: estaturas, pesos, notas de un examen muy numeroso o errores de medida.

Tipificación y uso de la tabla

Solo existe tabla para la normal estándar Z ~ N(0, 1). Para pasar cualquier N(μ, σ) a N(0, 1) se tipifica:

Z = (X − μ) / σ

La tabla da P(Z ≤ a) para a ≥ 0. El resto de casos se obtiene con la simetría de la campana:

• P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a)
• P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a)
• P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

Valores que conviene recordar: P(Z ≤ 1) = 0,8413; P(Z ≤ 1,5) = 0,9332; P(Z ≤ 2) = 0,9772.

Ejemplo 2 (normal y tipificación)

Las notas de un examen siguen una N(6; 1,5). ¿Qué probabilidad hay de sacar como mucho un 7,5? ¿Y de sacar al menos un 3?

Tipificamos: z = (7,5 − 6) / 1,5 = 1. P(X ≤ 7,5) = P(Z ≤ 1) = 0,8413.

z = (3 − 6) / 1,5 = −2. P(X ≥ 3) = P(Z ≥ −2) = P(Z ≤ 2) = 0,9772.

Entre 4,5 y 7,5: P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0,8413 − (1 − 0,8413) = 0,6826.

Aproximación de la binomial por la normal

Cuando n es grande y se cumple n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, la binomial B(n, p) se puede aproximar por una normal N(n·p, √(n·p·q)). Como pasamos de una variable discreta a una continua, se aplica la corrección de continuidad: cada valor entero k se sustituye por el intervalo (k − 0,5; k + 0,5).

Ejemplo 3 (aproximación)

Se lanza una moneda 100 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como mucho 55 caras?

X ~ B(100; 0,5). n·p = 50 ≥ 5 y n·q = 50 ≥ 5, así que X se aproxima por X' ~ N(50, 5), porque σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5.

P(X ≤ 55) ≈ P(X' ≤ 55,5) = P(Z ≤ (55,5 − 50)/5) = P(Z ≤ 1,1) = 0,8643.

Ejercicios