Polinomios, ecuaciones, inecuaciones, sistemas - Ejercicios y resumen

Introducción

El álgebra es la base de casi todo lo que harás en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. En esta lección repasamos de forma práctica los polinomios (operaciones, regla de Ruffini y factorización), las ecuaciones, las inecuaciones y los sistemas, con ejemplos resueltos paso a paso.

Explicación

Polinomios. Un polinomio es una suma de monomios, como P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6. Su grado es el mayor exponente de x.

• Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a).
• Raíz: a es raíz de P si P(a) = 0; entonces (x − a) es un factor de P(x). Las raíces enteras se buscan entre los divisores del término independiente.
• Regla de Ruffini: permite dividir entre (x − a) de forma rápida y, aplicada varias veces, factorizar el polinomio.

Ecuaciones. De primer grado: se despeja x. De segundo grado ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El discriminante b² − 4ac indica si hay dos soluciones (positivo), una (cero) o ninguna real (negativo). Las bicuadradas (ax⁴ + bx² + c = 0) se resuelven con el cambio t = x².

Inecuaciones. Son desigualdades con incógnitas; su solución suele ser un intervalo o una unión de intervalos, con infinitas soluciones.

• De primer grado: se resuelven como una ecuación, pero si se multiplica o divide por un número negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad.
• De segundo grado: se hallan las raíces, se dibujan en la recta y se estudia el signo en cada tramo.

Sistemas de ecuaciones lineales. Se resuelven por sustitución, igualación o reducción. Un sistema puede ser compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas) o incompatible (ninguna).

Consejos para no perder puntos. Comprueba siempre las soluciones sustituyéndolas en la ecuación o el sistema original. En las inecuaciones, fíjate en si la desigualdad es estricta (<, >) o no (≤, ≥): en el primer caso los extremos van con paréntesis y en el segundo con corchetes. En los problemas con enunciado, define primero qué representa cada incógnita, plantea las ecuaciones y, al final, comprueba que la solución tiene sentido en el contexto (por ejemplo, que una longitud o un número de personas no sea negativo).

Ejemplo

Ejemplo 1 (factorización). Factoriza P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.

Probamos divisores de 6: P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0, luego x = 1 es raíz. Por Ruffini, P(x) = (x − 1)(x² − x − 6). Resolviendo x² − x − 6 = 0: x = 3 y x = −2. Resultado: P(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3).

Ejemplo 2 (ecuación bicuadrada). Resuelve x⁴ − 5x² + 4 = 0. Con t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → t = 1 o t = 4. Entonces x = ±1 y x = ±2.

Ejemplo 3 (inecuación de segundo grado). Resuelve x² − x − 6 < 0. Raíces: x = −2 y x = 3. Probando un valor de cada tramo: en x = 0 queda −6 < 0 (se cumple); en x = −3 y x = 4 queda positivo. Solución: (−2, 3).

Ejemplo 4 (sistema). Resuelve 2x + y = 7; x − y = 2. Sumando ambas ecuaciones: 3x = 9 → x = 3. Sustituyendo: 3 − y = 2 → y = 1. Solución: x = 3, y = 1.

Ejercicios