Dominio, continuidad, tipos de funciones, funciones a trozos

Introducción

Las funciones son la herramienta con la que las Ciencias Sociales describen cómo una magnitud depende de otra: el coste de producción según las unidades fabricadas, la factura del agua según los metros cúbicos consumidos o la población de una ciudad a lo largo de los años. En esta lección estudiarás qué valores puede tomar la variable (dominio), los tipos de funciones más habituales, qué significa que una función sea continua y cómo se trabaja con funciones definidas a trozos.

Concepto de función y dominio

Una función f asigna a cada valor de x (variable independiente) un único valor y = f(x) (variable dependiente). El dominio, Dom f, es el conjunto de valores de x para los que f(x) existe. El recorrido o imagen es el conjunto de valores que toma y.

• Polinómicas (f(x) = 3x² − x + 2): Dom f = ℝ.
• Racionales (cociente de polinomios): ℝ menos los valores que anulan el denominador.
• Radicales de índice par (√g(x)): los x con g(x) ≥ 0.
• Logarítmicas (log g(x), ln g(x)): los x con g(x) > 0.
• Exponenciales (a^x, con a > 0): Dom f = ℝ.

Tipos de funciones

• Lineal o afín: f(x) = mx + n. Su gráfica es una recta de pendiente m y ordenada en el origen n.
• Cuadrática: f(x) = ax² + bx + c. Su gráfica es una parábola con vértice en x_v = −b/(2a).
• De proporcionalidad inversa: f(x) = k/x. Su gráfica es una hipérbola.
• Exponencial: f(x) = a^x. Crece si a > 1 y decrece si 0 < a < 1. Modela interés compuesto y crecimiento de poblaciones.
• Logarítmica: f(x) = log_a x, inversa de la exponencial; solo existe para x > 0.

Continuidad

De forma intuitiva, una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz. Con precisión, f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones:

• existe f(a);
• existe el límite de f(x) cuando x tiende a a (los límites laterales coinciden);
• ese límite es igual a f(a).

Si alguna falla, hay una discontinuidad:

• Evitable: el límite existe, pero f(a) no existe o es distinto. Ejemplo: f(x) = (x² − 9)/(x − 3) en x = 3.
• De salto finito: los límites laterales son números distintos.
• De salto infinito: algún límite lateral es +∞ o −∞ (hay una asíntota vertical). Ejemplo: f(x) = 1/(x − 3) en x = 3.

Las funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio; las racionales, en todos los puntos donde no se anula el denominador.

Funciones definidas a trozos

Una función a trozos usa una expresión distinta en cada intervalo. Son muy frecuentes en economía: tarifas, impuestos por tramos o descuentos por volumen. Para estudiar su continuidad basta con mirar los puntos donde cambia la expresión: allí se calculan los dos límites laterales y el valor de la función.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dominio de f(x) = (x + 1)/(x² − 4).
Se anula el denominador si x² − 4 = 0, es decir, x = 2 o x = −2. Por tanto, Dom f = ℝ − {−2, 2}.

Ejemplo 2. Dominio de f(x) = √(6 − 2x).
Necesitamos 6 − 2x ≥ 0, luego −2x ≥ −6 y, al dividir entre un número negativo, cambia el sentido: x ≤ 3. Dom f = (−∞, 3].

Ejemplo 3. Estudia la continuidad de f(x) = x + 1 si x < 2; f(x) = x² − 1 si x ≥ 2.
Cada trozo es polinómico, así que solo hay que mirar x = 2. Límite por la izquierda: 2 + 1 = 3. Límite por la derecha: 2² − 1 = 3. Valor: f(2) = 3. Los tres coinciden: f es continua en ℝ.

Ejemplo 4 (aplicación). Una compañía cobra 10 € al mes por los primeros 100 MB y 0,05 € por cada MB adicional: C(x) = 10 si 0 ≤ x ≤ 100; C(x) = 10 + 0,05(x − 100) si x > 100.
C(150) = 10 + 0,05 · 50 = 12,50 €. En x = 100, ambos trozos dan 10 €, de modo que la tarifa es continua: no hay saltos bruscos en la factura.

Errores frecuentes

• Olvidar que en un logaritmo el argumento debe ser estrictamente positivo: ln(x − 5) exige x > 5, no x ≥ 5.
• En una función a trozos, comprobar solo uno de los límites laterales. Hay que calcular los dos y compararlos con el valor de la función.
• Pensar que «no existe f(a)» significa siempre salto infinito: si el límite existe y es un número, la discontinuidad es evitable.

Ejercicios