Polinomios, ecuaciones, inecuaciones, sistemas

Introducción

El álgebra es el lenguaje con el que se plantean y resuelven casi todos los problemas de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales: calcular un precio de equilibrio, decidir entre dos tarifas o repartir un presupuesto. En esta lección repasarás los polinomios y su factorización, las ecuaciones de segundo grado y bicuadradas, las inecuaciones y los sistemas de ecuaciones.

Polinomios

Un polinomio es una expresión como P(x) = 2x³ − x + 5; su grado es el mayor exponente (aquí, 3). Herramientas clave:

• Regla de Ruffini: divide un polinomio entre (x − a) de forma rápida.
• Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a).
• Raíces: a es raíz si P(a) = 0, y entonces (x − a) es un factor de P(x). Las raíces enteras se buscan entre los divisores del término independiente.
• Factorizar es escribir el polinomio como producto de factores lo más sencillos posible.

Ecuaciones

• Segundo grado: ax² + bx + c = 0 se resuelve con x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). El discriminante D = b² − 4ac indica cuántas soluciones reales hay: D > 0, dos; D = 0, una (doble); D < 0, ninguna.
• Bicuadradas (ax⁴ + bx² + c = 0): se hace el cambio t = x², se resuelve la ecuación en t y se deshace el cambio.
• Grado mayor que 2: se factoriza con Ruffini y se iguala cada factor a 0.

Inecuaciones

Se resuelven como las ecuaciones, con una diferencia: si se multiplica o divide por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad. En las de segundo grado se hallan las raíces, se divide la recta en intervalos y se estudia el signo en cada uno. La solución se expresa con intervalos.

Sistemas de ecuaciones

En los sistemas lineales se usan los métodos de sustitución, igualación o reducción; para tres incógnitas, el método de Gauss. Un sistema puede tener solución única, infinitas soluciones o ninguna. En los no lineales se suele despejar en la ecuación lineal y sustituir en la otra.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Factoriza P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.
Probamos divisores de −6: P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, así que x = 1 es raíz. Con Ruffini, P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6), y x² − 5x + 6 = 0 da x = 2 y x = 3. Resultado: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).

Ejemplo 2. Resuelve 2x² + 3x − 2 = 0.
D = 9 + 16 = 25. x = (−3 ± 5)/4: x = 1/2 o x = −2.

Ejemplo 3. Resuelve x⁴ − 5x² + 4 = 0.
Con t = x²: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 o t = 4. Entonces x = ±1 o x = ±2.

Ejemplo 4. Resuelve x² − x − 6 ≤ 0.
Raíces: x = −2 y x = 3. Probando valores: en x = −3 el polinomio vale 6 > 0; en x = 0, −6 < 0; en x = 4, 6 > 0. Solución: [−2, 3] (los extremos se incluyen porque la desigualdad admite el =).

Ejemplo 5. Un rectángulo tiene 20 cm de perímetro y 24 cm² de área. Halla sus lados.
x + y = 10 y x·y = 24. Sustituyendo y = 10 − x: x(10 − x) = 24, x² − 10x + 24 = 0, x = 4 o x = 6. Los lados miden 4 cm y 6 cm.

Ejemplo 6. Resuelve 2x − 5 > 3x + 1.
2x − 3x > 1 + 5 ⇒ −x > 6. Multiplicando por −1 cambia el sentido: x < −6. Solución: (−∞, −6).

Errores frecuentes

• No cambiar el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.
• En una bicuadrada, olvidar las soluciones negativas al deshacer el cambio t = x².
• Dividir entre x en una ecuación como x² = 3x y perder la solución x = 0.

Ejercicios