Monotonía, extremos, optimización económica

Introducción

Una empresa quiere saber qué cantidad producir para ganar lo máximo posible, o qué precio fijar para que sus ingresos sean los mayores. Estas preguntas se responden estudiando cuándo una función crece o decrece (monotonía) y dónde alcanza sus valores máximos y mínimos (extremos). La herramienta clave es la derivada.

La derivada

La tasa de variación media de f en [a, b] es TVM = (f(b) − f(a))/(b − a): mide cuánto cambia f, en promedio, por cada unidad de x. La derivada f'(a) es el límite de esa tasa cuando el intervalo se hace muy pequeño: la tasa de variación instantánea, que coincide con la pendiente de la recta tangente en x = a. En economía, la derivada del coste es el coste marginal: lo que cuesta, aproximadamente, producir una unidad más.

Reglas básicas:

• Constante: (k)' = 0.
• Potencia: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Por ejemplo, (x³)' = 3x².
• Producto por un número: (k·f)' = k·f'.
• Suma y resta: (f ± g)' = f' ± g'.

Monotonía

• Si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en él.
• Si f'(x) < 0 en un intervalo, f es decreciente en él.

Método: 1) calcula f'(x); 2) resuelve f'(x) = 0 (puntos críticos) y localiza los puntos fuera del dominio; 3) divide la recta en intervalos con esos puntos; 4) estudia el signo de f' en un valor de cada intervalo.

Extremos relativos

En un punto crítico x = a puede haber:

• Máximo relativo: f pasa de crecer a decrecer (f' cambia de + a −).
• Mínimo relativo: f pasa de decrecer a crecer (f' cambia de − a +).

Otra forma: si f'(a) = 0 y f''(a) < 0, hay máximo; si f''(a) > 0, hay mínimo. Las coordenadas del extremo son (a, f(a)).

Optimización económica

• Ingreso: I = precio · cantidad.
• Beneficio: B = I − C (ingreso menos coste).

Pasos: 1) escribir la función que se quiere optimizar con una sola variable; 2) derivar e igualar a 0; 3) comprobar que es máximo o mínimo; 4) responder en el contexto, con unidades, y comprobar que la solución tiene sentido (cantidades no negativas).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Monotonía y extremos de f(x) = x³ − 3x.
f'(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = −1 o x = 1.
En (−∞, −1), por ejemplo f'(−2) = 9 > 0: crece. En (−1, 1), f'(0) = −3 < 0: decrece. En (1, +∞), f'(2) = 9 > 0: crece.
Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 2); mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, −2).

Ejemplo 2. El beneficio de una empresa es B(q) = −q² + 40q − 300 (miles de euros, q en miles de unidades).
B'(q) = −2q + 40 = 0 ⇒ q = 20. Como B''(q) = −2 < 0, es un máximo. B(20) = −400 + 800 − 300 = 100. Debe fabricar 20 000 unidades y obtendrá 100 000 € de beneficio.

Ejemplo 3. Si a un precio p se venden q = 100 − 2p unidades, el ingreso es I(p) = p(100 − 2p) = 100p − 2p².
I'(p) = 100 − 4p = 0 ⇒ p = 25 €. I''(p) = −4 < 0: máximo. Ingreso máximo: I(25) = 25 · 50 = 1250 €.

Ejemplo 4. Extremos de f(x) = x³ − 12x + 5.
f'(x) = 3x² − 12 = 0 ⇒ x = −2 o x = 2. f''(x) = 6x: f''(−2) = −12 < 0, máximo en (−2, 21); f''(2) = 12 > 0, mínimo en (2, −11).

Errores frecuentes

• Dar como extremo un punto con f'(a) = 0 sin comprobar que la derivada cambia de signo.
• Responder solo con la x: un extremo es un punto (a, f(a)), y en un problema económico hay que dar también el valor del beneficio o del ingreso.
• Olvidar las unidades y el contexto: «q = 20» no es una respuesta completa si q está en miles de unidades.

Ejercicios