Monotonía, extremos, optimización económica - Ejercicios y resumen

Introducción

La derivada nos dice cómo cambia una función. Con ella podemos saber dónde crece o decrece (monotonía), dónde alcanza sus máximos y mínimos (extremos) y, aplicado a la economía, qué cantidad hay que producir para obtener el beneficio máximo o el coste mínimo. Esta lección resume el método y lo practica con ejemplos.

Explicación

Monotonía. Una función es creciente en un intervalo si al aumentar x aumenta f(x), y decreciente si al aumentar x disminuye f(x). La derivada lo detecta:

• Si f′(x) > 0 en un intervalo, f es creciente en él.
• Si f′(x) < 0 en un intervalo, f es decreciente en él.

Extremos relativos. Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer; un mínimo relativo, donde pasa de decrecer a crecer. En una función derivable, en esos puntos f′(x) = 0 (puntos críticos). Para clasificarlos:

• Por el cambio de signo de f′: de + a − es máximo; de − a + es mínimo.
• Por la segunda derivada: si f′(a) = 0 y f″(a) < 0, hay un máximo; si f″(a) > 0, un mínimo.

Método para estudiar la monotonía y los extremos:

• 1. Calcular el dominio y la derivada f′(x).
• 2. Resolver f′(x) = 0 (y anotar los puntos donde f′ no existe).
• 3. Dividir la recta real con esos puntos y estudiar el signo de f′ en cada intervalo.
• 4. Concluir intervalos de crecimiento y decrecimiento, y calcular f en los extremos.

Optimización económica. Si I(x) son los ingresos y C(x) los costes al producir x unidades, el beneficio es B(x) = I(x) − C(x). Para maximizarlo:

• 1. Escribir la función que hay que optimizar con una sola variable.
• 2. Derivar e igualar a cero.
• 3. Comprobar que es máximo (o mínimo) con f″ o con el signo de f′.
• 4. Comprobar que la solución tiene sentido (por ejemplo, que x no sea negativa) y responder con unidades.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado. En los problemas económicos la variable suele estar limitada (por ejemplo, la producción entre 0 y 50 unidades). En ese caso, el máximo o el mínimo absoluto puede estar en un punto crítico o en uno de los extremos del intervalo: hay que calcular el valor de la función en todos esos puntos y quedarse con el mayor o el menor. Recuerda además que el beneficio marginal es B′(x): mientras sea positivo, producir una unidad más aumenta el beneficio.

Ejemplo

Ejemplo 1 (monotonía y extremos). Estudia f(x) = x³ − 3x.

f′(x) = 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = −1 y x = 1. Signo de f′: en (−∞, −1), f′(−2) = 9 > 0; en (−1, 1), f′(0) = −3 < 0; en (1, +∞), f′(2) = 9 > 0.

Creciente en (−∞, −1) ∪ (1, +∞) y decreciente en (−1, 1). Máximo relativo en (−1, f(−1)) = (−1, 2) y mínimo relativo en (1, f(1)) = (1, −2).

Ejemplo 2 (beneficio máximo). El beneficio de una empresa, en miles de euros, al fabricar x toneladas es B(x) = −2x² + 40x − 50. ¿Cuántas toneladas debe fabricar para que el beneficio sea máximo y cuál es ese beneficio?

B′(x) = −4x + 40 = 0 → x = 10. B″(x) = −4 < 0, luego es un máximo. B(10) = −200 + 400 − 50 = 150. Debe fabricar 10 toneladas y obtiene un beneficio máximo de 150 000 €.

Ejercicios