Concepto, reglas de derivación, recta tangente - Ejercicios y resumen

Introducción

La derivada de una función en un punto mide lo rápido que cambia la función en ese punto. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica. Esta lección resume el concepto, las reglas de derivación y el cálculo de la recta tangente.

Explicación

Concepto. La tasa de variación media de f en [a, a + h] es (f(a + h) − f(a)) / h. La derivada de f en x = a es el límite de esa tasa cuando h tiende a 0:

f'(a) = lím_h→0 (f(a + h) − f(a)) / h

Reglas de derivación.

• Constante: (k)' = 0.
• Potencia: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Ejemplo: (x⁵)' = 5x⁴.
• Constante por función: (k·f)' = k·f'.
• Suma y resta: (f ± g)' = f' ± g'.
• Producto: (f·g)' = f'·g + f·g'.
• Cociente: (f / g)' = (f'·g − f·g') / g².
• Exponencial y logaritmo: (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1 / x.
• Regla de la cadena: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). Por ejemplo, ((u)ⁿ)' = n·uⁿ⁻¹·u' y (ln u)' = u' / u.

Recta tangente. La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = a pasa por (a, f(a)) y tiene pendiente f'(a):

y − f(a) = f'(a)·(x − a)

Si f'(a) = 0, la tangente es horizontal; esos puntos son candidatos a máximos o mínimos relativos.

Ejemplo

Ejemplo 1. Halla la recta tangente a f(x) = x³ − 2x + 1 en x = 2.

f(2) = 8 − 4 + 1 = 5. f'(x) = 3x² − 2, así que f'(2) = 12 − 2 = 10. Tangente: y − 5 = 10(x − 2), es decir, y = 10x − 15.

Ejemplo 2. Deriva f(x) = (x² + 1)·e^x.

Regla del producto: f'(x) = 2x·e^x + (x² + 1)·e^x = e^x(x² + 2x + 1) = e^x(x + 1)².

Ejercicios