Centralización, dispersión, tipificación, normal

Medidas de centralización y dispersión, tipificación y distribución normal

Introducción

Cuando tenemos muchos datos (notas, salarios, precios, estaturas) necesitamos resumirlos con pocos números. Las medidas de centralización indican alrededor de qué valor se agrupan los datos; las medidas de dispersión indican si están muy juntos o muy separados. Con ambas podemos tipificar un dato para compararlo con datos de otros grupos y relacionarlo con la distribución normal.

Medidas de centralización

• Media aritmética: x̄ = (suma de los datos) / N. Si los datos tienen frecuencias: x̄ = Σ x_i·f_i / N.
• Mediana (Me): el valor central de los datos ordenados. Si N es par, es la media de los dos valores centrales.
• Moda (Mo): el valor con mayor frecuencia. Puede haber más de una.

La media se ve muy afectada por valores extremos; la mediana no. Por eso, en salarios o precios de vivienda suele ser más representativa la mediana.

Medidas de dispersión

• Rango o recorrido: valor máximo − valor mínimo.
• Varianza: σ² = Σ (x_i − x̄)²·f_i / N, o de forma equivalente σ² = Σ x_i²·f_i / N − x̄².
• Desviación típica: σ = √(varianza). Se mide en las mismas unidades que los datos.
• Coeficiente de variación: CV = σ / x̄. No tiene unidades y sirve para comparar la dispersión de grupos con medias distintas. Suele expresarse en porcentaje.

Ejemplo 1

Las notas de 8 alumnos son: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

• Media: x̄ = 40 / 8 = 5.
• Mediana: los valores centrales son 4 y 5, así que Me = 4,5.
• Moda: 4 (aparece 3 veces).
• Rango: 9 − 2 = 7.
• Varianza: [(2−5)² + 3·(4−5)² + 2·(5−5)² + (7−5)² + (9−5)²] / 8 = (9 + 3 + 0 + 4 + 16) / 8 = 32 / 8 = 4.
• Desviación típica: σ = √4 = 2. Coeficiente de variación: CV = 2 / 5 = 0,4 = 40%.

Tipificación

Tipificar un dato x es calcular cuántas desviaciones típicas se separa de la media:

z = (x − x̄) / σ

Si z > 0 el dato está por encima de la media; si z < 0, por debajo. Las puntuaciones tipificadas permiten comparar datos de grupos distintos.

Ejemplo 2

Ana saca un 7 en un grupo con media 6 y desviación típica 0,5. Luis saca un 8 en otro grupo con media 7 y desviación típica 1,5. ¿Quién tiene un resultado relativamente mejor?

Ana: z = (7 − 6) / 0,5 = 2. Luis: z = (8 − 7) / 1,5 ≈ 0,67.

Aunque Luis tiene más nota, Ana destaca más dentro de su grupo: su resultado relativo es mejor.

Relación con la distribución normal

Muchas variables (estaturas, notas de exámenes muy numerosos, errores de medida) siguen aproximadamente una distribución normal N(μ, σ), cuya gráfica es la campana de Gauss, simétrica respecto a la media. Al tipificar, la variable pasa a ser la normal estándar N(0, 1), cuyas probabilidades están en la tabla. En toda distribución normal se cumple:

• Entre μ − σ y μ + σ está aproximadamente el 68,26% de los datos.
• Entre μ − 2σ y μ + 2σ, aproximadamente el 95,44%.
• Entre μ − 3σ y μ + 3σ, aproximadamente el 99,74%.

Ejemplo 3

El cociente intelectual de una población sigue una N(100, 15). ¿Qué porcentaje de personas tiene un CI entre 85 y 115? ¿Y por encima de 130?

Tipificamos: 85 → z = −1 y 115 → z = 1. Con la tabla: P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2·0,8413 − 1 = 0,6826, es decir, el 68,26%.

130 → z = (130 − 100)/15 = 2. P(Z ≥ 2) = 1 − 0,9772 = 0,0228, es decir, un 2,28%.

Ejercicios