Lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas - Ejercicios y resumen

Introducción

Esta lección es de repaso y práctica de las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Primero tienes un resumen de lo esencial de cada familia y después ejemplos resueltos del tipo de ejercicio que más se pregunta.

Explicación

Resumen de las cuatro familias

• Lineal f(x) = mx + n: recta de pendiente m y ordenada en el origen n. Crece si m > 0 y decrece si m < 0. Modela magnitudes que aumentan una cantidad fija por unidad (por ejemplo, un coste fijo más un coste por unidad producida).
• Cuadrática f(x) = ax² + bx + c: parábola. Vértice en x = −b/(2a). Si a > 0 tiene un mínimo; si a < 0, un máximo. Los cortes con el eje X son las soluciones de ax² + bx + c = 0.
• Exponencial f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1): dominio ℝ, siempre positiva, pasa por (0, 1). Creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. Asíntota horizontal y = 0. Modela crecimientos en los que la cantidad se multiplica por el mismo factor en cada periodo.
• Logarítmica f(x) = log_a x: inversa de la exponencial. Dominio (0, +∞), pasa por (1, 0). Creciente si a > 1 (cada vez más despacio). Asíntota vertical x = 0.

Propiedades de los logaritmos (las necesitas para resolver ecuaciones):

• log_a(x·y) = log_a x + log_a y
• log_a(x/y) = log_a x − log_a y
• log_a(xⁿ) = n·log_a x
• log_a a = 1 y log_a 1 = 0

Estrategias para las ecuaciones: en una ecuación exponencial se intenta escribir ambos miembros como potencias de la misma base e igualar exponentes; si no es posible, se toman logaritmos. En una ecuación logarítmica se aplica la definición (log_a x = y ⟺ a^y = x) y siempre se comprueba que las soluciones estén en el dominio.

Cómo reconocer cada familia en una tabla de valores. Si al aumentar x de uno en uno el valor de y aumenta siempre la misma cantidad, la relación es lineal (esa cantidad es la pendiente). Si y se multiplica siempre por el mismo factor, es exponencial (ese factor es la base). Si las diferencias no son constantes pero las diferencias de las diferencias sí lo son, es cuadrática. Por ejemplo, la tabla x: 0, 1, 2, 3 → y: 5, 10, 20, 40 es exponencial de base 2, porque cada valor es el doble del anterior.

Ejemplo

Ejemplo 1 (recta por dos puntos). Halla la función lineal que pasa por (1, 3) y (3, 7).

m = (7 − 3)/(3 − 1) = 2. Con el punto (1, 3): 3 = 2·1 + n → n = 1. Función: f(x) = 2x + 1.

Ejemplo 2 (ecuación exponencial). Resuelve 3^{x − 1} = 81.

81 = 3⁴, luego x − 1 = 4 → x = 5. Comprobación: 3⁴ = 81.

Ejemplo 3 (ecuación logarítmica). Resuelve log₂ x = 5.

Por la definición, x = 2⁵ = 32. Como 32 > 0, está en el dominio y es válida.

Ejemplo 4 (tomar logaritmos). ¿Cuántos años tarda en duplicarse un capital al 5 % anual compuesto? Hay que resolver 1,05^t = 2. Tomando logaritmos: t = log 2 / log 1,05 ≈ 14,2. Hacen falta 15 años completos.

Ejercicios