Lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas

Introducción

Muchos fenómenos económicos y sociales se describen con unas pocas familias de funciones: las lineales (costes con un precio fijo por unidad), las cuadráticas (ingresos y beneficios), las exponenciales (interés compuesto, crecimiento de poblaciones) y las logarítmicas (tiempo necesario para alcanzar una cantidad). En esta lección aprenderás a reconocerlas, sus propiedades y su gráfica.

Explicación

Función lineal (afín): f(x) = mx + n. Su gráfica es una recta. La pendiente m indica cuánto cambia y cuando x aumenta una unidad: si m > 0 es creciente, si m < 0 es decreciente y si m = 0 es constante. La ordenada en el origen n es el punto donde corta al eje Y, (0, n). Dados dos puntos, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola:

• Si a > 0 se abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a < 0, hacia abajo (tiene un máximo).
• El vértice tiene abscisa x_v = −b/(2a); su ordenada es f(x_v).
• Corta al eje Y en (0, c) y al eje X en las soluciones de ax² + bx + c = 0 (puede tener 2, 1 o ningún corte según el discriminante b² − 4ac).

Función exponencial: f(x) = a^x, con a > 0 y a ≠ 1.

• Dominio: ℝ. Recorrido: (0, +∞): siempre es positiva.
• Pasa por (0, 1), porque a⁰ = 1.
• Si a > 1 es creciente; si 0 < a < 1 es decreciente.
• El eje X (y = 0) es asíntota horizontal.

En economía aparece como C(t) = C₀·(1 + r)^t, el capital con interés compuesto.

Función logarítmica: f(x) = log_a x, con a > 0 y a ≠ 1. Es la inversa de la exponencial: log_a x = y ⟺ a^y = x.

• Dominio: (0, +∞): solo existe el logaritmo de números positivos. Recorrido: ℝ.
• Pasa por (1, 0), porque log_a 1 = 0.
• Si a > 1 es creciente, pero crece cada vez más despacio; si 0 < a < 1 es decreciente.
• El eje Y (x = 0) es asíntota vertical.

Su gráfica es la simétrica de la exponencial de la misma base respecto de la recta y = x.

Ejemplo

Ejemplo 1 (cuadrática). Estudia f(x) = x² − 6x + 5.

a = 1 > 0: parábola hacia arriba. Vértice: x_v = 6/2 = 3, f(3) = 9 − 18 + 5 = −4 → V(3, −4), que es el mínimo. Corte con el eje Y: (0, 5). Cortes con el eje X: x² − 6x + 5 = 0 → x = 1 y x = 5.

Ejemplo 2 (exponencial). Se ingresan 1000 € al 5 % de interés compuesto anual. Capital tras t años: C(t) = 1000·1,05^t. A los 2 años: C(2) = 1000·1,1025 = 1102,50 €.

Ejemplo 3 (logarítmica). Calcula log₂ 8 y el dominio de f(x) = ln(x − 1). Como 2³ = 8, log₂ 8 = 3. Para el dominio, x − 1 > 0 → x > 1: Dom f = (1, +∞).

Ejercicios