Límites de funciones, indeterminaciones, asíntotas

Introducción

El límite describe hacia qué valor se acerca una función cuando x se aproxima a un número o crece sin parar. Sirve, por ejemplo, para saber a qué valor tiende el coste medio de producción cuando se fabrican muchísimas unidades. En esta lección aprenderás a calcular límites, a resolver las indeterminaciones más habituales y a encontrar las asíntotas de una función.

Concepto de límite

Escribimos lim_x→a f(x) = L si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a. Para que el límite exista, los límites laterales (por la izquierda, x → a⁻, y por la derecha, x → a⁺) deben coincidir. También se estudian límites cuando x → +∞ o x → −∞.

Para calcularlo, primero se sustituye. Si sale un número, ese es el límite. Si sale k/0 con k ≠ 0, el límite es infinito y su signo se estudia con los límites laterales.

Indeterminaciones

Hay resultados que no deciden nada por sí solos: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞ y 1^∞. Se resuelven transformando la expresión:

• 0/0 con polinomios: se factoriza numerador y denominador y se simplifica el factor común.
• ∞/∞ con polinomios: se comparan los grados. Si el numerador tiene mayor grado, el límite es ±∞; si tienen igual grado, es el cociente de los coeficientes principales; si el denominador tiene mayor grado, es 0.
• ∞ − ∞ con raíces: se multiplica y divide por el conjugado.
• 1^∞: está relacionado con el número e; se usa que lim f(x)^g(x) = e^{lim g(x)·(f(x) − 1)}.

Asíntotas

• Vertical x = a: si el límite de f cuando x → a (al menos por un lado) es ±∞. En las racionales se buscan entre los ceros del denominador que no anulan el numerador.
• Horizontal y = L: si lim_x→±∞ f(x) = L (un número).
• Oblicua y = mx + n: en las racionales aparece cuando el grado del numerador supera en una unidad al del denominador; se obtiene dividiendo los polinomios (el cociente es la asíntota). Si hay horizontal hacia un lado, no hay oblicua hacia ese mismo lado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (0/0). lim_x→3 (x² − 9)/(x − 3).
Al sustituir sale 0/0. Factorizamos: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, que tiende a 6.

Ejemplo 2 (∞/∞). lim_x→+∞ (5x³ + 2x)/(3x³ − 1).
Mismo grado: el límite es el cociente de coeficientes principales, 5/3.

Ejemplo 3 (∞ − ∞). lim_x→+∞ (√(x² + x) − x).
Multiplicamos y dividimos por el conjugado: (x² + x − x²)/(√(x² + x) + x) = x/(√(x² + x) + x). Dividiendo entre x: 1/(√(1 + 1/x) + 1) → 1/2.

Ejemplo 4 (k/0). lim_x→2 1/(x − 2).
Por la derecha, x − 2 es positivo y pequeño: +∞. Por la izquierda: −∞. Los laterales no coinciden, así que el límite no existe, pero x = 2 es asíntota vertical.

Ejemplo 5 (asíntotas). f(x) = (2x + 3)/(x − 1).
Vertical: x = 1 (el denominador se anula y el numerador vale 5). Horizontal: grados iguales, y = 2/1 = 2. No hay oblicua.

Ejemplo 6 (∞ − ∞ con polinomios). lim_x→+∞ (x² − x).
Domina el término de mayor grado, x², así que el límite es +∞. Con polinomios, la indeterminación ∞ − ∞ se resuelve mirando el término de mayor grado.

Ejemplo 7 (grado mayor en el denominador). lim_x→+∞ (3x + 1)/(x² + 2) = 0, porque el denominador crece más deprisa. Por eso y = 0 es asíntota horizontal.

Errores frecuentes

• Escribir «0/0 = 0» o «∞/∞ = 1»: son indeterminaciones y hay que transformar la expresión.
• Dar x = a como asíntota vertical sin comprobar que el numerador no se anula también: en (x² − 9)/(x − 3) no hay asíntota en x = 3, sino una discontinuidad evitable.
• Olvidar estudiar los límites laterales cuando sale k/0.

Ejercicios