Límites de funciones, indeterminaciones, asíntotas - Ejercicios y resumen

Resumen de la unidad

• Límite: valor al que se acerca f(x) cuando x → a o x → ±∞. Existe en x = a si coinciden los límites laterales.
• Primer paso: sustituir. Si sale k/0 (k ≠ 0), el límite es ±∞ y se estudian los laterales.
• Indeterminaciones: 0/0 (factorizar y simplificar), ∞/∞ (comparar grados), ∞ − ∞ (operar o usar el conjugado), 1^∞ (número e), 0 · ∞ (transformar en cociente).
• Asíntota vertical x = a: el límite en a es ±∞. Horizontal y = L: el límite en ±∞ es L. Oblicua y = mx + n: en racionales, cuando el grado del numerador es uno más que el del denominador.
• Continuidad en a: f(a) existe, el límite existe y son iguales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (0/0). lim_x→1 (x² + 2x − 3)/(x² − 1).
Factorizamos: (x − 1)(x + 3)/((x − 1)(x + 1)) = (x + 3)/(x + 1) → 4/2 = 2.

Ejemplo 2 (∞/∞). lim_x→+∞ (3x² + 1)/(x² − 5).
Igual grado: 3/1 = 3. Por tanto, y = 3 es asíntota horizontal de la función.

Ejemplo 3 (1^∞). lim_x→+∞ (1 + 2/x)^x.
Base → 1 y exponente → ∞. Aplicamos e^{lim x·(1 + 2/x − 1)} = e^{lim 2} = e².

Ejemplo 4 (laterales). lim_x→0 |x|/x.
Si x > 0, |x|/x = 1; si x < 0, |x|/x = −1. Los laterales valen 1 y −1: el límite no existe y la función tiene en x = 0 una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo 5 (parámetro). ¿Para qué valor de a existe lim_x→1 (x² + ax − 3)/(x − 1)?
El denominador tiende a 0. Para que el límite sea finito, el numerador también debe anularse en x = 1: 1 + a − 3 = 0, a = 2. Entonces (x² + 2x − 3)/(x − 1) = x + 3 → 4.

Ejemplo 6 (coste medio). El coste medio de fabricar q unidades es CM(q) = (2q + 500)/q. lim_q→+∞ CM(q) = 2: con producciones muy grandes, el coste por unidad se acerca a 2 €, porque el coste fijo de 500 € se reparte entre muchas unidades.

Ejemplo 7 (asíntota vertical y laterales). f(x) = (x + 2)/(x² − 4).
El denominador se anula en x = 2 y x = −2. En x = −2 el numerador también vale 0: simplificando, f(x) = 1/(x − 2) si x ≠ −2, y el límite en −2 es −1/4 (discontinuidad evitable, no asíntota). En x = 2 sí hay asíntota vertical: por la derecha +∞ y por la izquierda −∞. Además, y = 0 es asíntota horizontal porque el grado del denominador es mayor.

Ejemplo 8 (asíntota horizontal). f(x) = (x² + 1)/(x² − 1).
Igual grado: y = 1/1 = 1 es asíntota horizontal. Verticales: x = 1 y x = −1, donde el numerador vale 2 y no se anula.

Errores frecuentes

• Concluir que el límite existe porque existe uno de los laterales.
• Al racionalizar con el conjugado, olvidar multiplicar también el denominador.
• Confundir 1^∞ con 1: (1 + 2/x)^x no tiende a 1, sino a e².

Ejercicios