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Derivadas: concepto y reglas
La derivada f'(x) mide la tasa de cambio instantánea de f(x). Geométricamente es la pendiente de la recta tangente.
Reglas de derivación
| Función | Derivada |
|---|
| xn | n·xn-1 |
| ex | ex |
| ln(x) | 1/x |
| f·g | f'g + fg' |
| f(g(x)) (regla de la cadena) | f'(g(x))·g'(x) |
| f/g | (f'g - fg')/g² |
Ejemplo resuelto
Ejemplo 1: Deriva f(x) = 3x&sup4; - 2x² + 5x - 1
f'(x) = 12x³ - 4x + 5
Ejemplo resuelto
Ejemplo 2: Deriva f(x) = (2x+1)/(x-3)
f'(x) = (2(x-3) - (2x+1)·1)/(x-3)² = (2x-6-2x-1)/(x-3)² = -7/(x-3)²
Ejemplo resuelto
Ejemplo 3: Recta tangente a f(x) = x² en x = 3
f(3) = 9, f'(3) = 6
y - 9 = 6(x - 3) -> y = 6x - 9
Ejercicios
1. Deriva: f(x) = 5x³ - 3x² + 7
2. Deriva: f(x) = (x²+1)·ex
3. Deriva: f(x) = ln(x²+4)
4. Deriva: f(x) = (3x-2)/(x+1)
5. Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) = x³ en x = 1
6. Halla los puntos donde f'(x) = 0 si f(x) = x³ - 3x
7. Deriva: f(x) = √(2x+5)
8. Calcula f'(2) si f(x) = x·ln(x)
9. Halla los máximos y mínimos de f(x) = x³ - 12x
10. Una empresa tiene beneficios B(x) = -x² + 80x - 300. ¿Qué producción maximiza el beneficio?
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Concepto, reglas de derivación, recta tangente.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.