Binomial, Normal, tipificación, tablas - Ejercicios y resumen

Introducción

Esta lección resume y practica las dos distribuciones de probabilidad más importantes de 1.º de Bachillerato: la binomial (variable discreta) y la normal (variable continua), junto con la tipificación y el manejo de la tabla de la N(0, 1).

Explicación

Distribución binomial B(n, p). Se usa cuando repetimos n veces un experimento independiente con dos resultados (éxito, con probabilidad p, y fracaso, con probabilidad q = 1 − p), y X cuenta el número de éxitos.

• P(X = k) = C(n, k) · p^k · q^n−k, donde C(n, k) es el número combinatorio «n sobre k».
• Media: μ = n·p. Desviación típica: σ = √(n·p·q).

Distribución normal N(μ, σ). Es continua, tiene forma de campana simétrica respecto a la media μ y su anchura depende de σ. En una variable continua, P(X = a) = 0, por lo que P(X ≤ a) = P(X < a).

Tipificación. Para usar la tabla, transformamos X en la normal estándar Z = (X − μ) / σ, que sigue una N(0, 1). La tabla da P(Z ≤ z) para z ≥ 0. Para el resto de casos:

• P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z).
• P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z) (por simetría).
• P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).

Aproximación de la binomial por la normal. Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, la B(n, p) se aproxima por N(n·p, √(n·p·q)). Como pasamos de una variable discreta a una continua, se aplica la corrección de continuidad: por ejemplo, P(X ≤ 55) se calcula como P(X' ≤ 55,5).

Ejemplo

Ejemplo 1 (binomial). El 30 % de los alumnos de un instituto va en bicicleta. Se eligen 10 al azar. ¿Probabilidad de que exactamente 2 vayan en bicicleta?

X ~ B(10; 0,3). P(X = 2) = C(10, 2) · 0,3² · 0,7⁸ = 45 · 0,09 · 0,0576 ≈ 0,2335.

Ejemplo 2 (normal). Las notas de un examen siguen una N(70, 8). ¿Qué proporción de alumnos saca menos de 82 puntos?

Tipificamos: z = (82 − 70) / 8 = 1,5. En la tabla, P(Z ≤ 1,5) = 0,9332, es decir, un 93,32 %.

Ejemplo 3 (aproximación). Lanzamos una moneda 100 veces. ¿Probabilidad de obtener como máximo 55 caras?

X ~ B(100; 0,5): n·p = 50 ≥ 5 y n·q = 50 ≥ 5. μ = 50 y σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = 5. Con corrección de continuidad: P(X ≤ 55) ≈ P(X' ≤ 55,5) = P(Z ≤ (55,5 − 50) / 5) = P(Z ≤ 1,1) = 0,8643.

Ejercicios