Porcentajes, proporcionalidad y álgebra
En esta lección avanzamos en el uso de porcentajes y la proporcionalidad, y damos los primeros pasos en álgebra: expresiones algebraicas y ecuaciones sencillas.
Porcentajes: cálculos avanzados
Ya sabes que un porcentaje es una fracción con denominador 100. Ahora aprenderemos a resolver problemas más complejos con porcentajes.
Calcular el porcentaje de una cantidad
📘 EjemploEn una tienda, un abrigo de 85 € tiene un 30 % de descuento. ¿Cuánto cuesta?
Descuento: 85 × 30 ÷ 100 = 25,50 €
Precio final: 85 − 25,50 = 59,50 €
Atajo: si hay un 30 % de descuento, pagas el 70 %: 85 × 0,70 = 59,50 €
Calcular qué porcentaje representa una cantidad
Para saber qué porcentaje es una parte del total, usamos: porcentaje = (parte ÷ total) × 100.
📘 EjemploEn un examen de 40 preguntas, Lucía ha acertado 34. ¿Qué porcentaje ha acertado?
(34 ÷ 40) × 100 = 0,85 × 100 = 85 %
Calcular el total conociendo el porcentaje
Si sabemos que una parte es un cierto porcentaje del total, podemos calcular el total: total = parte × 100 ÷ porcentaje.
📘 EjemploEl 40 % de los alumnos de un colegio son 120. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
Total = 120 × 100 ÷ 40 = 12.000 ÷ 40 = 300 alumnos
Aumentos y descuentos porcentuales
| Operación | Cómo se calcula | Ejemplo |
|---|
| Aumento del 15 % | Cantidad × 1,15 | 200 × 1,15 = 230 |
| Descuento del 20 % | Cantidad × 0,80 | 150 × 0,80 = 120 |
| Aumento del 8 % | Cantidad × 1,08 | 500 × 1,08 = 540 |
| Descuento del 50 % | Cantidad × 0,50 | 90 × 0,50 = 45 |
Proporcionalidad directa e inversa
Proporcionalidad directa: cuando una magnitud aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción. Ejemplo: más kilos de fruta → más dinero.
Proporcionalidad inversa: cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye. Ejemplo: más trabajadores → menos tiempo para terminar la obra.
📘 EjemploProporcionalidad directa:
Si 5 libretas cuestan 8 €, ¿cuánto cuestan 12 libretas?
5 libretas → 8 €
12 libretas → x €
x = (12 × 8) ÷ 5 = 96 ÷ 5 = 19,20 €
📘 EjemploProporcionalidad inversa:
Si 4 pintores tardan 6 días en pintar una casa, ¿cuánto tardarían 3 pintores?
4 pintores → 6 días
3 pintores → x días
x = (4 × 6) ÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8 días
¡Fíjate! Menos pintores → más días. Multiplicamos los datos originales y dividimos por el nuevo.
⚠️ ImportantePara distinguir proporcionalidad directa de inversa, pregúntate: «Si una magnitud aumenta, ¿la otra sube o baja?»
• Si sube → directa (se divide en la regla de tres).
• Si baja → inversa (se multiplican los datos conocidos y se divide por el nuevo).
Introducción al álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números desconocidos. Estas letras se llaman incógnitas o variables.
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones.
| Expresión | Significado | Si x = 3 |
|---|
| x + 5 | Un número más 5 | 3 + 5 = 8 |
| 2x | El doble de un número | 2 × 3 = 6 |
| 3x − 1 | El triple de un número menos 1 | 3 × 3 − 1 = 8 |
| x² | Un número al cuadrado | 3² = 9 |
| x + y | La suma de dos números | Si x=3, y=4 → 7 |
En las expresiones algebraicas, cuando una letra va junto a un número, se entiende que se multiplican: 3x significa 3 × x.
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad con una incógnita. Resolver la ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.
Reglas fundamentales:
- Lo que está sumando a un lado, pasa restando al otro.
- Lo que está restando a un lado, pasa sumando al otro.
- Lo que está multiplicando a un lado, pasa dividiendo al otro.
- Lo que está dividiendo a un lado, pasa multiplicando al otro.
📘 EjemploResuelve: x + 7 = 15
El 7 está sumando → pasa restando:
x = 15 − 7
x = 8
Comprobación: 8 + 7 = 15 ✓
📘 EjemploResuelve: 3x − 4 = 14
Paso 1: El 4 está restando → pasa sumando:
3x = 14 + 4
3x = 18
Paso 2: El 3 está multiplicando → pasa dividiendo:
x = 18 ÷ 3
x = 6
Comprobación: 3 × 6 − 4 = 18 − 4 = 14 ✓
📘 EjemploResuelve: 2x + 5 = x + 12
Paso 1: Pasamos las x al lado izquierdo y los números al derecho:
2x − x = 12 − 5
x = 7
Comprobación: 2 × 7 + 5 = 19 y 7 + 12 = 19 ✓
Plantear problemas con ecuaciones
📘 EjemploAna tiene el triple de cromos que Marcos. Entre los dos tienen 52 cromos. ¿Cuántos tiene cada uno?
Llamamos x a los cromos de Marcos.
Ana tiene 3x cromos.
Entre los dos: x + 3x = 52
4x = 52
x = 52 ÷ 4 = 13
Marcos tiene 13 cromos y Ana tiene 3 × 13 = 39 cromos.
Comprobación: 13 + 39 = 52 ✓
✏️ Ejercicios1. Calcula: a) el 35 % de 240 b) el 12,5 % de 800 c) el 95 % de 60
2. Un pantalón cuesta 45 € y tiene un 25 % de descuento. ¿Cuánto pagas?
3. En un partido de baloncesto, un jugador ha metido 18 de 24 tiros libres. ¿Qué porcentaje de acierto tiene?
4. El 65 % de los alumnos de una clase son 26. ¿Cuántos alumnos tiene la clase en total?
5. Si 8 albañiles tardan 15 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarán 10 albañiles?
6. Calcula el valor numérico de 4x − 3 cuando: a) x = 2 b) x = 5 c) x = 0
7. Resuelve las ecuaciones: a) x + 9 = 22 b) 5x = 35 c) 2x − 6 = 10 d) 4x + 3 = 2x + 15
8. Pedro tiene 5 años más que su hermana. La suma de sus edades es 27 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? Plantea una ecuación.
9. Un número multiplicado por 4 y sumado con 7 da 31. ¿Cuál es ese número?
10. Una camiseta sube un 10 % de precio y luego baja un 10 %. Si costaba 40 €, ¿cuánto cuesta ahora? ¿Es lo mismo que el precio original?
🎯 Actividad prácticaPorcentajes en la vida real:
1. Busca tres productos en un catálogo o tienda en línea que tengan descuento.
2. Anota el precio original, el porcentaje de descuento y calcula el precio final.
3. Calcula cuánto te ahorras en total si compras los tres.
4. Plantea este problema como ecuación: «Un producto cuesta 30 € después de un 25 % de descuento. ¿Cuál era el precio original?»
🤔 ¿Sabías que...?La palabra «álgebra» viene del árabe «al-jabr», que significa «restauración» o «recomposición». La inventó el matemático persa al-Juarismi en el siglo IX. Su libro Hisab al-jabr wa-l-muqabala fue tan influyente que la disciplina lleva su nombre. Y la palabra «algoritmo» también viene de su nombre latinizado: Algorithmi.
📋 Resumen de la lección- Un porcentaje se puede calcular multiplicando por el decimal equivalente.
- Para calcular qué porcentaje es una parte: (parte ÷ total) × 100.
- Proporcionalidad directa: ambas magnitudes crecen o decrecen a la vez.
- Proporcionalidad inversa: una magnitud crece y la otra decrece.
- Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones.
- Una ecuación es una igualdad con incógnita. Resolverla es encontrar el valor de la incógnita.
- Para resolver ecuaciones: lo que suma pasa restando, lo que multiplica pasa dividiendo.
- Siempre hay que comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.