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Introducción
Cuando multiplicamos un número por sí mismo varias veces, podemos escribirlo de forma abreviada con una potencia. Y la operación que «deshace» el cuadrado de un número es la raíz cuadrada. En esta lección aprenderás a calcular ambas.
Explicación
Potencias. Una potencia es una multiplicación de factores iguales. Tiene dos partes:
La base: el factor que se repite.
El exponente: el número de veces que se repite la base.
Por ejemplo, 23 = 2 × 2 × 2 = 8. La base es 2 y el exponente es 3. Se lee «dos elevado a tres» o «dos al cubo».
Cualquier número elevado a 1 es el mismo número: 71 = 7.
Cuidado: 52no es 5 × 2. Es 5 × 5.
Potencias de base 10. Son muy útiles: 102 = 100, 103 = 1.000, 106 = 1.000.000. El exponente indica el número de ceros. Sirven para escribir números grandes con su descomposición polinómica: 3.508 = 3 × 103 + 5 × 102 + 8.
Raíz cuadrada. La raíz cuadrada de un número es otro número que, multiplicado por sí mismo (elevado al cuadrado), da el primero. Se escribe con el símbolo √.
√49 = 7, porque 72 = 49.
√144 = 12, porque 122 = 144.
Los números como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 o 100 se llaman cuadrados perfectos, porque su raíz cuadrada es exacta.
Raíz entera. Si el número no es un cuadrado perfecto, buscamos el mayor número cuyo cuadrado no lo supera. Por ejemplo, para 50: 72 = 49 y 82 = 64. La raíz entera de 50 es 7 y el resto es 50 − 49 = 1.
Ejemplo 2. Calcula la raíz entera de 70 y su resto.
82 = 64 y 92 = 81. Como 81 ya supera a 70, la raíz entera es 8 y el resto es 70 − 64 = 6.
Ejercicios
¿Cuánto vale 25?
¿Cuál es la raíz cuadrada de 169?
Material adicional
Porcentajes, proporcionalidad y álgebra
En esta lección avanzamos en el uso de porcentajes y la proporcionalidad, y damos los primeros pasos en álgebra: expresiones algebraicas y ecuaciones sencillas.
Porcentajes: cálculos avanzados
Ya sabes que un porcentaje es una fracción con denominador 100. Ahora aprenderemos a resolver problemas más complejos con porcentajes.
Calcular el porcentaje de una cantidad
📘 Ejemplo
En una tienda, un abrigo de 85 € tiene un 30 % de descuento. ¿Cuánto cuesta?
Proporcionalidad inversa: Si 4 pintores tardan 6 días en pintar una casa, ¿cuánto tardarían 3 pintores?
4 pintores → 6 días 3 pintores → x días x = (4 × 6) ÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8 días
¡Fíjate! Menos pintores → más días. Multiplicamos los datos originales y dividimos por el nuevo.
⚠️ Importante
Para distinguir proporcionalidad directa de inversa, pregúntate: «Si una magnitud aumenta, ¿la otra sube o baja?» • Si sube → directa (se multiplica en cruz y se divide). • Si baja → inversa (se multiplican los datos conocidos y se divide por el nuevo).
Introducción al álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar números desconocidos. Estas letras se llaman incógnitas o variables.
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones.
Expresión
Significado
Si x = 3
x + 5
Un número más 5
3 + 5 = 8
2x
El doble de un número
2 × 3 = 6
3x − 1
El triple de un número menos 1
3 × 3 − 1 = 8
x²
Un número al cuadrado
3² = 9
x + y
La suma de dos números
Si x=3, y=4 → 7
En las expresiones algebraicas, cuando una letra va junto a un número, se entiende que se multiplican: 3x significa 3 × x.
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad con una incógnita. Resolver la ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.
Reglas fundamentales:
Lo que está sumando a un lado, pasa restando al otro.
Lo que está restando a un lado, pasa sumando al otro.
Lo que está multiplicando a un lado, pasa dividiendo al otro.
Lo que está dividiendo a un lado, pasa multiplicando al otro.
📘 Ejemplo
Resuelve: x + 7 = 15
El 7 está sumando → pasa restando: x = 15 − 7 x = 8
Comprobación: 8 + 7 = 15 ✓
📘 Ejemplo
Resuelve: 3x − 4 = 14
Paso 1: El 4 está restando → pasa sumando: 3x = 14 + 4 3x = 18
Paso 2: El 3 está multiplicando → pasa dividiendo: x = 18 ÷ 3 x = 6
Comprobación: 3 × 6 − 4 = 18 − 4 = 14 ✓
📘 Ejemplo
Resuelve: 2x + 5 = x + 12
Paso 1: Pasamos las x al lado izquierdo y los números al derecho: 2x − x = 12 − 5 x = 7
Comprobación: 2 × 7 + 5 = 19 y 7 + 12 = 19 ✓
Plantear problemas con ecuaciones
📘 Ejemplo
Ana tiene el triple de cromos que Marcos. Entre los dos tienen 52 cromos. ¿Cuántos tiene cada uno?
Llamamos x a los cromos de Marcos. Ana tiene 3x cromos. Entre los dos: x + 3x = 52 4x = 52 x = 52 ÷ 4 = 13
Marcos tiene 13 cromos y Ana tiene 3 × 13 = 39 cromos. Comprobación: 13 + 39 = 52 ✓
✏️ Ejercicios
1. Calcula: a) el 35 % de 240 b) el 12,5 % de 800 c) el 95 % de 60
2. Un pantalón cuesta 45 € y tiene un 25 % de descuento. ¿Cuánto pagas?
3. En un partido de baloncesto, un jugador ha metido 18 de 24 tiros libres. ¿Qué porcentaje de acierto tiene?
4. El 65 % de los alumnos de una clase son 26. ¿Cuántos alumnos tiene la clase en total?
5. Si 8 albañiles tardan 15 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarán 10 albañiles?
6. Calcula el valor numérico de 4x − 3 cuando: a) x = 2 b) x = 5 c) x = 0
7. Resuelve las ecuaciones: a) x + 9 = 22 b) 5x = 35 c) 2x − 6 = 10 d) 4x + 3 = 2x + 15
8. Pedro tiene 5 años más que su hermana. La suma de sus edades es 27 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? Plantea una ecuación.
9. Un número multiplicado por 4 y sumado con 7 da 31. ¿Cuál es ese número?
10. Una camiseta sube un 10 % de precio y luego baja un 10 %. Si costaba 40 €, ¿cuánto cuesta ahora? ¿Es lo mismo que el precio original?
🎯 Actividad práctica
Porcentajes en la vida real: 1. Busca tres productos en un catálogo o tienda en línea que tengan descuento. 2. Anota el precio original, el porcentaje de descuento y calcula el precio final. 3. Calcula cuánto te ahorras en total si compras los tres. 4. Plantea este problema como ecuación: «Un producto cuesta 30 € después de un 25 % de descuento. ¿Cuál era el precio original?»
🤔 ¿Sabías que...?
La palabra «álgebra» viene del árabe «al-jabr», que significa «restauración» o «recomposición». Procede de la obra del matemático persa al-Juarismi en el siglo IX. Su libro Hisab al-jabr wa-l-muqabala fue tan influyente que la disciplina lleva su nombre. Y la palabra «algoritmo» también viene de su nombre latinizado: Algorithmi.
📋 Resumen de la lección
Un porcentaje se puede calcular multiplicando por el decimal equivalente.
Para calcular qué porcentaje es una parte: (parte ÷ total) × 100.
Proporcionalidad directa: ambas magnitudes crecen o decrecen a la vez.
Proporcionalidad inversa: una magnitud crece y la otra decrece.
Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones.
Una ecuación es una igualdad con incógnita. Resolverla es encontrar el valor de la incógnita.
Para resolver ecuaciones: lo que suma pasa restando, lo que multiplica pasa dividiendo.
Siempre hay que comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.
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