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Los números enteros y operaciones con fracciones
En 6.º de Primaria damos un gran paso: descubrimos que existen números menores que cero. Son los números enteros negativos. Además, profundizamos en las operaciones con fracciones y decimales.
Los números enteros
Hasta ahora hemos trabajado con los números naturales: 0, 1, 2, 3... Pero en la vida real necesitamos números que representen valores por debajo de cero: temperaturas bajo cero, profundidades marinas, deudas, pisos de sótano...
Los números enteros incluyen los positivos, el cero y los negativos:
← Negativos-5-4-3-2-1012345Positivos →
La recta numérica de los números enteros
Los números negativos se escriben con el signo menos (−) delante: −1, −2, −3, −4...
Comparación de números enteros
En la recta numérica, un número es mayor cuanto más a la derecha esté. Por eso:
| Comparación | Resultado | Explicación |
|---|
| 3 y −2 | 3 > −2 | Todo positivo es mayor que todo negativo |
| −1 y −4 | −1 > −4 | −1 está más a la derecha que −4 |
| 0 y −3 | 0 > −3 | El cero es mayor que cualquier negativo |
| −7 y −2 | −2 > −7 | Entre dos negativos, es mayor el más cercano a cero |
| 5 y 5 | 5 = 5 | Son iguales |
📌 RecuerdaEntre dos números negativos, es mayor el que tiene el valor absoluto menor (el más cercano a cero).
Ejemplo: −3 > −10 porque −3 está más cerca de cero.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica, sin importar el signo. Se escribe entre barras verticales: |−5| = 5 y |5| = 5.
📘 Ejemplo|−8| = 8 |3| = 3 |0| = 0 |−15| = 15
El valor absoluto siempre es positivo o cero. Nunca es negativo.
Suma y resta de números enteros
Para sumar y restar números enteros, se siguen estas reglas:
- Mismo signo: se suman los valores absolutos y se mantiene el signo.
- Distinto signo: se restan los valores absolutos y se pone el signo del mayor.
📘 EjemploMismo signo:
(+5) + (+3) = +8 (ambos positivos, sumamos)
(−4) + (−6) = −10 (ambos negativos, sumamos y ponemos −)
Distinto signo:
(+7) + (−3) = +4 (7 − 3 = 4, el mayor es 7 que es positivo)
(−9) + (+2) = −7 (9 − 2 = 7, el mayor valor absoluto es 9 que es negativo)
📘 EjemploLa temperatura a las 6:00 era de −3 °C. A mediodía subió 8 grados. ¿Qué temperatura había a mediodía?
−3 + 8 = +5 °C
Por la noche bajó 9 grados respecto a mediodía. ¿Qué temperatura hacía?
5 − 9 = −4 °C
Operaciones con fracciones: repaso y ampliación
En 6.º consolidamos las cuatro operaciones con fracciones.
División de fracciones
Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda (damos la vuelta a la segunda fracción).
📘 Ejemplo3⁄4 ÷ 2⁄5
Invertimos la segunda: 5⁄2
Multiplicamos: 3⁄4 × 5⁄2 = 15⁄8
Resultado: 15⁄8 = 1 7⁄8
Operaciones combinadas con fracciones
Cuando una expresión tiene varias operaciones, seguimos el orden de operaciones:
- Primero: paréntesis.
- Después: multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
- Por último: sumas y restas (de izquierda a derecha).
📘 Ejemplo1⁄2 + 3⁄4 × 2⁄3
Paso 1: Multiplicación primero: 3⁄4 × 2⁄3 = 6⁄12 = 1⁄2
Paso 2: Suma: 1⁄2 + 1⁄2 = 2⁄2 = 1
Operaciones con decimales avanzadas
En 6.º perfeccionamos la multiplicación y la división entre decimales.
Multiplicación de decimales
📘 EjemploMultiplica: 2,45 × 0,3
Sin comas: 245 × 3 = 735
Total de cifras decimales: 2 + 1 = 3
Colocamos la coma: 0,735
División de decimales
Para dividir entre un número decimal, convertimos el divisor en entero multiplicando ambos (dividendo y divisor) por la misma potencia de 10.
📘 EjemploDivide: 14,4 ÷ 0,6
Multiplicamos ambos por 10: 144 ÷ 6 = 24
Divide: 3,75 ÷ 0,25
Multiplicamos ambos por 100: 375 ÷ 25 = 15
⚠️ ImportanteAl multiplicar o dividir dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no cambia. Esta propiedad es la que nos permite eliminar los decimales del divisor.
✏️ Ejercicios1. Ordena de menor a mayor: +3, −7, 0, −1, +5, −3, +2
2. Calcula el valor absoluto: a) |−12| b) |+7| c) |−25| d) |0|
3. Calcula: a) (+8) + (−3) b) (−5) + (−4) c) (−6) + (+9) d) (+2) − (+7)
4. La temperatura a las 7:00 es de −5 °C. A mediodía sube 12 grados. Por la noche baja 9 grados. ¿Cuál es la temperatura por la noche?
5. Divide estas fracciones: a) 5⁄6 ÷ 2⁄3 b) 7⁄8 ÷ 1⁄4 c) 3⁄10 ÷ 9⁄5
6. Calcula paso a paso: 2⁄3 + 1⁄4 × 4⁄5
7. Multiplica: a) 3,6 × 2,5 b) 0,12 × 0,4 c) 1,05 × 3,2
8. Divide: a) 18,6 ÷ 0,3 b) 4,5 ÷ 0,15 c) 7,2 ÷ 0,08
9. Un submarino está a −120 metros de profundidad. Sube 45 metros y luego baja 30 metros. ¿A qué profundidad se encuentra?
10. Un depósito tiene 3⁄4 de su capacidad llena. Se usan 2⁄5 del contenido. ¿Qué fracción del depósito queda llena?
🎯 Actividad prácticaTermómetro de enteros:
1. Dibuja en una cartulina un termómetro grande con escala de −10 a +40.
2. Marca en rojo las temperaturas negativas y en azul las positivas.
3. Anota la temperatura de tu ciudad durante 5 días y represéntala en tu termómetro.
4. Calcula la temperatura media de esos 5 días.
🤔 ¿Sabías que...?Los números negativos fueron utilizados por primera vez en la antigua China, hace más de 2.000 años. Los matemáticos chinos usaban varillas rojas para los positivos y negras para los negativos. En Europa, tardaron muchos siglos en aceptarlos: los llamaban «números absurdos» porque no entendían cómo algo podía ser menos que nada.
📋 Resumen de la lección- Los números enteros incluyen positivos, cero y negativos.
- En la recta numérica, un número es mayor cuanto más a la derecha esté.
- El valor absoluto es la distancia al cero, siempre positiva o cero.
- Para sumar enteros del mismo signo, se suman valores absolutos y se mantiene el signo.
- Para sumar enteros de distinto signo, se restan valores absolutos y se pone el signo del mayor.
- Para dividir fracciones, se multiplica por la inversa de la segunda.
- En operaciones combinadas: primero paréntesis, luego multiplicación/división, luego suma/resta.
- Para dividir entre un decimal, se convierte el divisor en entero multiplicando ambos por la misma potencia de 10.