Operaciones con números naturales

Operaciones con números naturales

Los números naturales son los que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4... En 6.º de Primaria repasamos las cuatro operaciones, sus propiedades, el orden en que se hacen cuando aparecen juntas y las potencias y raíces cuadradas.

Suma y resta

En la suma, los números que se suman se llaman sumandos y el resultado, suma o total. En la resta, al número mayor se le llama minuendo, al que se quita sustraendo y al resultado diferencia.

• Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no cambia el resultado: 25 + 48 = 48 + 25.
• Propiedad asociativa de la suma: podemos agrupar los sumandos como queramos: (17 + 3) + 45 = 17 + (3 + 45) = 65.
• Prueba de la resta: diferencia + sustraendo = minuendo. Si 532 − 178 = 354, entonces 354 + 178 = 532.

Multiplicación

Los números que se multiplican son los factores y el resultado es el producto.

• Conmutativa: 6 × 9 = 9 × 6.
• Asociativa: (5 × 2) × 7 = 5 × (2 × 7) = 70.
• Distributiva: multiplicar un número por una suma es igual que multiplicarlo por cada sumando y sumar: 7 × (10 + 3) = 7 × 10 + 7 × 3 = 70 + 21 = 91.

La propiedad distributiva ayuda a calcular mentalmente: 15 × 102 = 15 × 100 + 15 × 2 = 1.500 + 30 = 1.530.

División

En una división, el dividendo (D) se reparte entre el divisor (d); el resultado es el cociente (c) y lo que sobra es el resto (r). Siempre se cumple:

D = d × c + r, y el resto es siempre menor que el divisor.

Si el resto es 0, la división es exacta; si no, es entera.

Jerarquía de las operaciones

Cuando en una expresión hay varias operaciones, se hacen en este orden:

1. Paréntesis.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Potencias y raíces cuadradas

Una potencia es una multiplicación de factores iguales: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. El 3 es la base y el 4 el exponente (las veces que se repite la base). Las potencias de 10 son muy fáciles: 10⁴ = 10.000 (un 1 seguido de 4 ceros).

La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado: √144 = 12 porque 12² = 144.

Estimar resultados

Antes de operar conviene estimar redondeando: 498 + 302 es aproximadamente 500 + 300 = 800. Así podemos detectar si un resultado es absurdo.

Ejemplo

Ejemplo 1. Operaciones combinadas. Calcula 40 − 3 × (2 + 4) : 9.

• Paréntesis: 2 + 4 = 6 → 40 − 3 × 6 : 9
• Multiplicación y división de izquierda a derecha: 3 × 6 = 18; 18 : 9 = 2 → 40 − 2
• Resta: 40 − 2 = 38

Ejemplo 2. División con prueba. Divide 3.457 entre 12.

• El cociente es 288 y el resto es 1.
• Prueba: 12 × 288 + 1 = 3.456 + 1 = 3.457. Correcto, y el resto (1) es menor que el divisor (12).

Ejemplo 3. Problema. Marta compra 3 cuadernos a 2 € cada uno y 4 bolígrafos a 1 € cada uno. Paga con un billete de 20 €. ¿Cuánto le devuelven?

• Gasto: 3 × 2 + 4 × 1 = 6 + 4 = 10 €
• Vuelta: 20 − 10 = 10 €
• En una sola expresión: 20 − (3 × 2 + 4 × 1) = 10.

Ejemplo 4. Potencias. Calcula 2³ + 5².

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 y 5² = 5 × 5 = 25
• 8 + 25 = 33

Resumen

• Suma y multiplicación cumplen las propiedades conmutativa y asociativa; la multiplicación, además, la distributiva respecto de la suma.
• En toda división: dividendo = divisor × cociente + resto, con el resto menor que el divisor.
• Orden de las operaciones: paréntesis, potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.
• Una potencia es una multiplicación de factores iguales; la raíz cuadrada es su operación inversa.

Ejercicios