Trigonometría
En 4.º de ESO profundizamos en la trigonometría: extendemos las razones trigonométricas a cualquier ángulo, aprendemos las identidades trigonométricas y resolvemos triángulos cualesquiera (no solo rectángulos).
Razones trigonométricas de cualquier ángulo
Usando la circunferencia goniométrica (de radio 1 y centro en el origen), extendemos seno, coseno y tangente a cualquier ángulo α:
• cos α = coordenada x del punto de la circunferencia.
• sen α = coordenada y del punto de la circunferencia.
• tan α = sen α / cos α.
Signo en cada cuadrante
| I (0°-90°) | II (90°-180°) | III (180°-270°) | IV (270°-360°) |
|---|
| sen α | + | + | − | − |
| cos α | + | − | − | + |
| tan α | + | − | + | − |
📌 RecuerdaRegla mnemotécnica: "En el primer Todo, en el segundo Seno, en el tercero Tangente, en el cuarto Coseno" (indica cuál es positivo en cada cuadrante).
Ángulos asociados (reducción al primer cuadrante)
Cualquier ángulo puede reducirse al primer cuadrante usando ángulos suplementarios, opuestos o que difieren en 180°:
| Relación | sen | cos | tan |
|---|
| 180° − α (suplementario) | sen α | −cos α | −tan α |
| 180° + α | −sen α | −cos α | tan α |
| 360° − α (opuesto) | −sen α | cos α | −tan α |
| 90° − α (complementario) | cos α | sen α | 1/tan α |
📘 Ejemplo resueltoCalcular sen 150°:
150° = 180° − 30° → sen 150° = sen 30° = 1/2
Calcular cos 240°:
240° = 180° + 60° → cos 240° = −cos 60° = −1/2
Calcular tan 315°:
315° = 360° − 45° → tan 315° = −tan 45° = −1
Identidades trigonométricas fundamentales
sen²α + cos²α = 1
tan α = sen α / cos α
1 + tan²α = 1/cos²α = sec²α
📘 Ejemplo resueltoSi sen α = 4/5 y α está en el segundo cuadrante, hallar cos α y tan α:
cos²α = 1 − 16/25 = 9/25 → cos α = −3/5 (negativo en II cuadrante)
tan α = (4/5)/(−3/5) = −4/3
Resolución de triángulos rectángulos
En un triángulo rectángulo, usamos las razones trigonométricas para hallar lados y ángulos desconocidos:
📘 Ejemplo resueltoUn triángulo rectángulo tiene hipotenusa c = 15 cm y un ángulo de 35°. Hallar los catetos.
Cateto opuesto a 35°: a = c · sen 35° = 15 × 0,5736 ≈ 8,60 cm
Cateto adyacente a 35°: b = c · cos 35° = 15 × 0,8192 ≈ 12,29 cm
Teorema del seno
Para cualquier triángulo (no solo rectángulos):
a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.
📘 Ejemplo resueltoEn un triángulo: A = 40°, B = 60°, a = 10 cm. Hallar b y c.
C = 180° − 40° − 60° = 80°
a/sen A = b/sen B → 10/sen 40° = b/sen 60°
b = 10 × sen 60° / sen 40° = 10 × 0,8660 / 0,6428 ≈ 13,47 cm
c = 10 × sen 80° / sen 40° = 10 × 0,9848 / 0,6428 ≈ 15,32 cm
Teorema del coseno
a² = b² + c² − 2bc · cos A
Es una generalización del teorema de Pitágoras (si A = 90°, cos A = 0 y queda a² = b² + c²).
📘 Ejemplo resueltoEn un triángulo: b = 7, c = 10, A = 50°. Hallar a.
a² = 49 + 100 − 2·7·10·cos 50° = 149 − 140·0,6428 = 149 − 89,99 = 59,01
a = √59,01 ≈ 7,68
✏️ Ejercicios1. Calcula sin calculadora: a) sen 120° b) cos 210° c) tan 300° d) sen 330°
2. Si cos α = −5/13 y α ∈ (π, 3π/2), halla sen α y tan α.
3. Demuestra que: (1 − cos²α)(1 + tan²α) = tan²α
4. Resuelve el triángulo rectángulo con cateto a = 7 y ángulo adyacente de 55°. Halla el otro cateto y la hipotenusa.
5. Aplica el teorema del seno: en un triángulo con A = 45°, C = 75° y c = 12, halla a y b.
6. Aplica el teorema del coseno: en un triángulo con a = 8, b = 11 y C = 40°, halla c.
7. Dos observadores situados a 500 m de distancia ven un globo aerostático con ángulos de elevación de 35° y 50°. ¿A qué altura vuela el globo?
8. Simplifica: (sen α · cos α · tan α) / (1 − cos²α)
9. Un barco navega 10 km al N30°E y luego 15 km al N60°E. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?
10. Halla el área de un triángulo con lados a = 6, b = 9 y ángulo comprendido C = 120°. (Usa: Área = (1/2)ab·sen C.)
🎯 Aplicación prácticaTrigonometría y topografía:
1. Desde dos puntos A y B separados 200 m en línea recta, se observa una torre C.
2. El ángulo en A es 65° y el ángulo en B es 78° (con respecto a la línea AB).
3. Usa el teorema del seno para calcular las distancias AC y BC, y después la altura de la torre.
🤔 ¿Sabías que...?El GPS que usas a diario funciona gracias a la trilateración, un método basado en trigonometría. Cuatro satélites envían señales y, mediante las diferencias de tiempo (y mucha trigonometría), el receptor calcula tu posición con una precisión de pocos metros.
📋 Resumen de la lección- Las razones trigonométricas se extienden a cualquier ángulo usando la circunferencia goniométrica.
- El signo depende del cuadrante: I todo +, II sen+, III tan+, IV cos+.
- Identidad fundamental: sen²α + cos²α = 1.
- Teorema del seno: a/senA = b/senB = c/senC. Útil cuando conocemos ángulos y un lado.
- Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cosA. Generalización de Pitágoras.