Sistemas lineales: métodos y discusión

Introducción

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de primer grado que deben cumplirse a la vez. Resolverlo es encontrar los valores de x e y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente. En esta lección repasamos los tres métodos algebraicos de resolución y aprendemos a discutir un sistema, es decir, a saber cuántas soluciones tiene antes incluso de resolverlo.

Explicación

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Cada ecuación representa una recta en el plano, y la solución del sistema es el punto (o los puntos) que tienen en común las dos rectas.

Métodos de resolución

• Sustitución: se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su expresión en la otra. Queda una ecuación con una sola incógnita.
• Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones obtenidas.
• Reducción: se multiplican las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas o restarlas, desaparezca una de las incógnitas.
• Método gráfico: se representan las dos rectas y se observa dónde se cortan. Es útil para entender el sistema, pero poco preciso si la solución no es un número entero.

Los tres métodos algebraicos dan siempre la misma solución; conviene elegir el más cómodo. La sustitución va bien cuando una incógnita tiene coeficiente 1 o −1; la reducción, cuando los coeficientes de una incógnita son iguales u opuestos.

Discusión de un sistema

Según el número de soluciones, un sistema puede ser:

• Compatible determinado (SCD): tiene una única solución. Las rectas se cortan en un punto. Ocurre cuando a/a' ≠ b/b'.
• Compatible indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes (son la misma recta). Ocurre cuando a/a' = b/b' = c/c'.
• Incompatible (SI): no tiene solución. Las rectas son paralelas y no se cortan. Ocurre cuando a/a' = b/b' ≠ c/c'.

Comparar los cocientes de los coeficientes permite clasificar el sistema sin resolverlo. Por último, comprueba siempre la solución sustituyéndola en las dos ecuaciones originales.

Errores frecuentes: olvidar cambiar el signo de todos los términos al multiplicar una ecuación por un número negativo, sustituir la expresión despejada en la misma ecuación de la que salió (se llega a 0 = 0 sin información) y dar solo el valor de una incógnita. La solución de un sistema compatible determinado es siempre un par de valores (x, y).

Ejemplo

Ejemplo 1 (sustitución). Resuelve: 3x + 2y = 12; x − y = −1.

• Despejamos x en la segunda ecuación: x = y − 1.
• Sustituimos en la primera: 3(y − 1) + 2y = 12 → 3y − 3 + 2y = 12 → 5y = 15 → y = 3.
• Calculamos x: x = 3 − 1 = 2.
• Comprobación: 3·2 + 2·3 = 12 ✓ y 2 − 3 = −1 ✓. Solución: (x, y) = (2, 3). Es un sistema compatible determinado.

Ejemplo 2 (discusión). Clasifica: 2x − y = 3; 4x − 2y = 6.

• Cocientes: 2/4 = 1/2; −1/−2 = 1/2; 3/6 = 1/2. Los tres son iguales.
• La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2: las rectas coinciden. El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, por ejemplo (0, −3), (1, −1), (2, 1)…).

Ejercicios