Combinatoria
La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia los métodos para contar el número de formas en que se pueden organizar o seleccionar elementos de un conjunto. Es la base para calcular probabilidades de sucesos complejos.
Principio fundamental de conteo
Si un proceso tiene dos etapas, la primera con m opciones y la segunda con n opciones, el total de resultados posibles es:
m × n
Este principio se extiende a cualquier número de etapas.
📘 Ejemplo resueltoUn menú ofrece 3 primeros, 4 segundos y 2 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden componer?
3 × 4 × 2 = 24 menús
Factorial de un número
El factorial de n (n!) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n:
n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1 0! = 1 (por convenio)
| n | n! |
|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5.040 |
| 8 | 40.320 |
| 10 | 3.628.800 |
Permutaciones
Las permutaciones son las diferentes formas de ordenar todos los n elementos de un conjunto:
Pₙ = n!
📘 Ejemplo resuelto¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas?
P₅ = 5! = 120 formas
Permutaciones con repetición: si hay elementos repetidos (a aparece nₐ veces, b aparece n_b veces...):
P_n^(nₐ, n_b, ...) = n! / (nₐ! · n_b! · ...)
📘 Ejemplo resuelto¿Cuántos anagramas diferentes tiene la palabra MISSISSIPPI?
11 letras: M(1), I(4), S(4), P(2)
P = 11! / (1!·4!·4!·2!) = 39.916.800 / (1·24·24·2) = 39.916.800 / 1.152 = 34.650
Variaciones (sin repetición)
Las variaciones de n elementos tomados de k en k (sin repetir elementos) son las formas de elegir k elementos en los que importa el orden:
V(n,k) = n! / (n−k)!
📘 Ejemplo resuelto¿De cuántas formas se puede elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 candidatos?
V(10,3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720
Variaciones con repetición
Si se permite repetir elementos:
VR(n,k) = nᵏ
📘 Ejemplo resuelto¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0-9?
El primer dígito tiene 9 opciones (1-9), los demás 10 cada uno.
Total = 9 × 10³ = 9.000
Combinaciones
Las combinaciones de n elementos tomados de k en k son las formas de elegir k elementos donde no importa el orden:
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)
También se escribe como (n sobre k) o ⁿCₖ. Se llama número combinatorio.
📘 Ejemplo resuelto¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas entre 8?
C(8,3) = 8! / (3! · 5!) = (8×7×6) / (3×2×1) = 336/6 = 56
¿Cuándo usar cada una?
| Tipo | ¿Importa el orden? | ¿Se repiten? | Fórmula |
|---|
| Permutaciones | Sí (todos) | No | n! |
| Variaciones | Sí (parte) | No | n!/(n−k)! |
| Variaciones con rep. | Sí (parte) | Sí | nᵏ |
| Combinaciones | No | No | n!/(k!(n−k)!) |
📌 RecuerdaPregunta clave: ¿importa el orden?
• Si sí → variaciones (o permutaciones si usamos todos).
• Si no → combinaciones.
Segunda pregunta: ¿se pueden repetir elementos?
• Si sí → variaciones con repetición.
Propiedades de los números combinatorios
C(n, 0) = C(n, n) = 1
C(n, k) = C(n, n−k) (simetría)
C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1) (triángulo de Pascal)
Triángulo de Pascal (o de Tartaglia)
Cada número es la suma de los dos que tiene encima:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
✏️ Ejercicios1. Calcula: a) 7! b) 10!/8! c) C(10, 3) d) V(8, 2)
2. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de AULA?
3. ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 amigos en una fila de cine?
4. Un club tiene 15 socios. ¿De cuántas formas se puede elegir una junta de presidente, vicepresidente y secretario?
5. En una lotería se eligen 6 números de entre 49 (sin importar el orden). ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
6. ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos (0-9) se pueden crear? ¿Y si no se pueden repetir dígitos?
7. Un equipo de baloncesto tiene 12 jugadores. ¿De cuántas formas puede el entrenador elegir los 5 titulares?
8. ¿Cuántos anagramas tiene la palabra MATEMÁTICAS? (Cuenta las letras repetidas.)
9. Se lanzan 3 dados. ¿Cuántos resultados posibles hay? ¿Cuál es la probabilidad de sacar tres seises?
10. En una clase de 25 alumnos se forman equipos de 5 para un proyecto. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar?
🎯 Aplicación prácticaCombinatoria en tu día a día:
1. ¿Cuántos conjuntos diferentes puedes formar con 5 camisetas, 3 pantalones y 2 pares de zapatillas?
2. Si en tu móvil usas un PIN de 4 dígitos, ¿cuántos PINes distintos existen? ¿Cuánto tardaría un ordenador que prueba 1.000 combinaciones por segundo en encontrarlo por fuerza bruta?
3. Investiga: ¿cuántas partidas de ajedrez diferentes son teóricamente posibles? (Número de Shannon.)
🤔 ¿Sabías que...?El número de Shannon, que estima las posibles partidas de ajedrez, es de aproximadamente 10¹²⁰ (un 1 seguido de 120 ceros). Para hacerse una idea de lo enorme que es: el número de átomos en el universo observable es "solo" 10⁸⁰. Por eso, ni los ordenadores más potentes pueden analizar todas las posibilidades del ajedrez por fuerza bruta.
📋 Resumen de la lección- Principio de conteo: m opciones × n opciones = m·n resultados.
- Permutaciones (Pₙ = n!): todas las formas de ordenar n elementos.
- Variaciones (V(n,k) = n!/(n−k)!): elegir k de n, importa el orden.
- Combinaciones (C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)): elegir k de n, NO importa el orden.
- Variaciones con repetición: VR(n,k) = nᵏ.