Razones trigonométricas y relaciones fundamentales
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Introducción
La trigonometría estudia la relación entre los ángulos y los lados de los triángulos. Gracias a ella se puede calcular la altura de un edificio o la anchura de un río sin medirlos directamente. En esta lección definimos las razones trigonométricas de un ángulo agudo y las relaciones que hay entre ellas.
Explicación
Razones trigonométricas. En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo α:
Estas razones dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo: dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo α son semejantes y sus lados son proporcionales.
Como la hipotenusa es el lado mayor, para un ángulo agudo el seno y el coseno están siempre entre 0 y 1. La tangente, en cambio, puede tomar cualquier valor positivo: por ejemplo, tg 60° ≈ 1,73.
También se usan las razones inversas: cosecante (cosec α = 1/sen α), secante (sec α = 1/cos α) y cotangente (cotg α = 1/tg α).
Relaciones fundamentales. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtienen tres relaciones que permiten calcular todas las razones a partir de una sola:
sen²α + cos²α = 1 (relación fundamental).
tg α = sen α / cos α.
1 + tg²α = 1 / cos²α, que se obtiene al dividir la primera entre cos²α.
Ángulos notables. Conviene recordar estos valores:
30°: sen = 1/2, cos = √3/2, tg = √3/3.
45°: sen = √2/2, cos = √2/2, tg = 1.
60°: sen = √3/2, cos = 1/2, tg = √3.
Fíjate en que sen 30° = cos 60° y sen 60° = cos 30°: en general, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario.
Para resolver un triángulo rectángulo (hallar todos sus lados y ángulos) basta conocer dos datos, siendo al menos uno de ellos un lado. Se elige la razón que relaciona el dato conocido con el que se busca: por ejemplo, si conocemos la hipotenusa y un ángulo y queremos el cateto opuesto, usamos el seno, porque cateto opuesto = hipotenusa · sen α. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman siempre 90°.
Ejemplo
Ejemplo 1. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. La hipotenusa mide √(9 + 16) = 5 cm. Para el ángulo α opuesto al cateto de 3 cm: sen α = 3/5 = 0,6; cos α = 4/5 = 0,8; tg α = 3/4 = 0,75. Comprobación: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1.
Ejemplo 2. Sabiendo que tg α = 2 y que α es agudo, calcula cos α y sen α. Con 1 + tg²α = 1/cos²α: 1 + 4 = 1/cos²α, así que cos²α = 1/5 y cos α = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,447 (positivo, porque α es agudo). Después, sen α = tg α · cos α = 2√5/5 ≈ 0,894.
Ejercicios
Sabiendo que cos α = 5/13 y que α es agudo, calcula tg α.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y uno de los ángulos agudos mide 30°. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a ese ángulo?
Material adicional
Combinatoria
La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia los métodos para contar el número de formas en que se pueden organizar o seleccionar elementos de un conjunto. Es la base para calcular probabilidades de sucesos complejos.
Principio fundamental de conteo
Si un proceso tiene dos etapas, la primera con m opciones y la segunda con n opciones, el total de resultados posibles es:
m × n
Este principio se extiende a cualquier número de etapas.
📘 Ejemplo resuelto
Un menú ofrece 3 primeros, 4 segundos y 2 postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden componer? 3 × 4 × 2 = 24 menús
Factorial de un número
El factorial de n (n!) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n:
Las permutaciones son las diferentes formas de ordenar todos los n elementos de un conjunto:
Pₙ = n!
📘 Ejemplo resuelto
¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas? P₅ = 5! = 120 formas
Permutaciones con repetición: si hay elementos repetidos (a aparece nₐ veces, b aparece n_b veces...):
P_n^(nₐ, n_b, ...) = n! / (nₐ! · n_b! · ...)
📘 Ejemplo resuelto
¿Cuántos anagramas diferentes tiene la palabra MISSISSIPPI? 11 letras: M(1), I(4), S(4), P(2) P = 11! / (1!·4!·4!·2!) = 39.916.800 / (1·24·24·2) = 39.916.800 / 1.152 = 34.650
Variaciones (sin repetición)
Las variaciones de n elementos tomados de k en k (sin repetir elementos) son las formas de elegir k elementos en los que importa el orden:
V(n,k) = n! / (n−k)!
📘 Ejemplo resuelto
¿De cuántas formas se puede elegir presidente, secretario y tesorero entre 10 candidatos? V(10,3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720
Variaciones con repetición
Si se permite repetir elementos:
VR(n,k) = nᵏ
📘 Ejemplo resuelto
¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0-9? El primer dígito tiene 9 opciones (1-9), los demás 10 cada uno. Total = 9 × 10³ = 9.000
Combinaciones
Las combinaciones de n elementos tomados de k en k son las formas de elegir k elementos donde no importa el orden:
C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!)
También se escribe como (n sobre k) o ⁿCₖ. Se llama número combinatorio.
📘 Ejemplo resuelto
¿De cuántas formas se puede elegir un comité de 3 personas entre 8? C(8,3) = 8! / (3! · 5!) = (8×7×6) / (3×2×1) = 336/6 = 56
¿Cuándo usar cada una?
Tipo
¿Importa el orden?
¿Se repiten?
Fórmula
Permutaciones
Sí (todos)
No
n!
Variaciones
Sí (parte)
No
n!/(n−k)!
Variaciones con rep.
Sí (parte)
Sí
nᵏ
Combinaciones
No
No
n!/(k!(n−k)!)
📌 Recuerda
Pregunta clave: ¿importa el orden? • Si sí → variaciones (o permutaciones si usamos todos). • Si no → combinaciones.
Segunda pregunta: ¿se pueden repetir elementos? • Si sí → variaciones con repetición.
1. Calcula: a) 7! b) 10!/8! c) C(10, 3) d) V(8, 2)
2. ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de AULA?
3. ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 amigos en una fila de cine?
4. Un club tiene 15 socios. ¿De cuántas formas se puede elegir una junta de presidente, vicepresidente y secretario?
5. En una lotería se eligen 6 números de entre 49 (sin importar el orden). ¿Cuántas combinaciones posibles hay?
6. ¿Cuántas contraseñas de 4 dígitos (0-9) se pueden crear? ¿Y si no se pueden repetir dígitos?
7. Un equipo de baloncesto tiene 12 jugadores. ¿De cuántas formas puede el entrenador elegir los 5 titulares?
8. ¿Cuántos anagramas tiene la palabra MATEMÁTICAS? (Considera la Á igual que la A y cuenta las letras repetidas.)
9. Se lanzan 3 dados. ¿Cuántos resultados posibles hay? ¿Cuál es la probabilidad de sacar tres seises?
10. En una clase de 25 alumnos se forman equipos de 5 para un proyecto. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar?
🎯 Aplicación práctica
Combinatoria en tu día a día: 1. ¿Cuántos conjuntos diferentes puedes formar con 5 camisetas, 3 pantalones y 2 pares de zapatillas? 2. Si en tu móvil usas un PIN de 4 dígitos, ¿cuántos PINes distintos existen? ¿Cuánto tardaría un ordenador que prueba 1.000 combinaciones por segundo en encontrarlo por fuerza bruta? 3. Investiga: ¿cuántas partidas de ajedrez diferentes son teóricamente posibles? (Número de Shannon.)
🤔 ¿Sabías que...?
El número de Shannon, que estima las posibles partidas de ajedrez, es de aproximadamente 10¹²⁰ (un 1 seguido de 120 ceros). Para hacerse una idea de lo enorme que es: el número de átomos en el universo observable es "solo" 10⁸⁰. Por eso, ni los ordenadores más potentes pueden analizar todas las posibilidades del ajedrez por fuerza bruta.
📋 Resumen de la lección
Principio de conteo: m opciones × n opciones = m·n resultados.
Permutaciones (Pₙ = n!): todas las formas de ordenar n elementos.
Variaciones (V(n,k) = n!/(n−k)!): elegir k de n, importa el orden.
Combinaciones (C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)): elegir k de n, NO importa el orden.
Variaciones con repetición: VR(n,k) = nᵏ.
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