Funciones exponenciales y logarítmicas

Introducción

Una población de bacterias que se duplica cada hora, el dinero de un depósito a interés compuesto o la cantidad de una sustancia radiactiva que se desintegra con el tiempo no cambian de forma lineal: cambian de forma exponencial. Para describirlos usamos las funciones exponenciales, y para responder a la pregunta «¿cuánto tiempo hace falta?» usamos su inversa, la función logarítmica.

Explicación

Función exponencial. Es una función de la forma f(x) = aˣ, donde la base a es un número positivo distinto de 1 y la variable está en el exponente. No hay que confundirla con f(x) = 3x (una recta) ni con f(x) = x³ (una función polinómica).

• Dominio: todos los números reales. Recorrido: (0, +∞); es decir, aˣ siempre es positiva.
• Pasa siempre por el punto (0, 1), porque a⁰ = 1, y por (1, a).
• Si a > 1, es creciente (crecimiento exponencial). Si 0 < a < 1, es decreciente (decrecimiento exponencial).
• El eje X (y = 0) es una asíntota horizontal: la gráfica se acerca a él sin tocarlo.

Logaritmo. El logaritmo en base a de un número x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x:

logₐ x = y ⟺ aʸ = x (con a > 0, a ≠ 1 y x > 0)

Por ejemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8, y log 1000 = 3 porque 10³ = 1000 (cuando no se escribe la base, es 10).

Función logarítmica. Es f(x) = logₐ x, la función inversa de la exponencial de la misma base. Sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x.

• Dominio: (0, +∞); no existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo. Recorrido: todos los reales.
• Pasa siempre por (1, 0), porque logₐ 1 = 0, y por (a, 1).
• Es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1.
• El eje Y (x = 0) es una asíntota vertical.

Propiedades de los logaritmos (para números positivos):

• logₐ(m · n) = logₐ m + logₐ n
• logₐ(m / n) = logₐ m − logₐ n
• logₐ(mᵏ) = k · logₐ m
• Cambio de base: logₐ x = log x / log a

Estas propiedades permiten resolver ecuaciones exponenciales: si se pueden escribir los dos miembros como potencias de la misma base, se igualan los exponentes; si no, se toman logaritmos en los dos miembros y se despeja la incógnita.

Ejemplo

Ejemplo 1. Un cultivo empieza con 200 bacterias y se duplica cada hora. El número de bacterias tras t horas es N(t) = 200 · 2ᵗ. Tras 3 horas: N(3) = 200 · 8 = 1.600 bacterias.

Ejemplo 2. ¿Cuándo habrá 6.400 bacterias? Planteamos 200 · 2ᵗ = 6.400 → 2ᵗ = 32 → 2ᵗ = 2⁵ → t = 5 horas. Dicho con logaritmos: t = log₂ 32 = 5.

Ejemplo 3. Calcula log₃ 9 + log₃ 3 − log₃ 1 = 2 + 1 − 0 = 3.

Ejercicios