Temario gratis › Matemáticas 4.º ESO

Propiedades de potencias con exponentes racionales

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Introducción

Ya conoces las potencias de exponente natural, como 2³ = 8, y las de exponente negativo, como 2⁻³ = 1/8. En 4.º de ESO damos un paso más: los exponentes también pueden ser fracciones. Esto permite escribir cualquier raíz como una potencia y operar con radicales usando las mismas reglas que ya sabes.

Explicación

Potencia de exponente fraccionario. Para a > 0 y n natural mayor que 1:

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

El denominador de la fracción es el índice de la raíz y el numerador es el exponente del radicando. Por ejemplo, 5^(1/2) = √5, 7^(1/3) = ∛7 y 2^(3/4) = ⁴√(2³) = ⁴√8.

Para calcular a mano, suele ser más fácil hacer primero la raíz y después la potencia: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Propiedades. Las potencias de exponente racional cumplen las mismas propiedades que las de exponente entero (siendo p y q fracciones y las bases positivas):

Gracias a estas propiedades, para multiplicar raíces de distinto índice basta con pasarlas a potencias: √x · ∛x = x^(1/2) · x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6) = ⁶√(x⁵).

Cuando la base es negativa hay que tener cuidado: (−8)^(1/3) se suele entender como ∛(−8) = −2, pero (−4)^(1/2) no es un número real. Por eso las propiedades se enuncian para bases positivas.

Errores frecuentes. Al sumar exponentes fraccionarios hay que buscar denominador común: 1/2 + 1/3 = 5/6, no 2/5. Además, las propiedades solo valen para productos y cocientes, no para sumas: (a + b)^(1/2) no es igual a a^(1/2) + b^(1/2). Por ejemplo, √(9 + 16) = 5, mientras que √9 + √16 = 7.

Ejemplo

Ejemplo 1. Calcula 16^(3/4). Hacemos primero la raíz cuarta: ⁴√16 = 2. Después elevamos al cubo: 2³ = 8.

Ejemplo 2. Calcula 32^(−2/5). Exponente negativo: 32^(−2/5) = 1 / 32^(2/5). Como ⁵√32 = 2, tenemos 32^(2/5) = 2² = 4, y el resultado es 1/4.

Ejemplo 3. Simplifica (a^(2/3))^(3/4). Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes, (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2. Resultado: a^(1/2) = √a.

Ejercicios

Calcula 27^(2/3).

Simplifica x^(1/2) · x^(1/3), con x > 0.

Material adicional

Polinomios y fracciones algebraicas

En 4.º de ESO ampliamos el trabajo con polinomios: división, factorización avanzada y operaciones con fracciones algebraicas (cocientes de polinomios). Estas herramientas son la base del álgebra que se estudia en Bachillerato.

Repaso: operaciones básicas con polinomios

Ya sabemos sumar, restar y multiplicar polinomios, así como aplicar las identidades notables:

(a + b)² = a² + 2ab + b²     (a − b)² = a² − 2ab + b²     (a+b)(a−b) = a² − b²

División de polinomios y regla de Ruffini

La regla de Ruffini permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x − a) de manera rápida. Es especialmente útil para factorizar.

📘 Ejemplo resuelto
Dividir P(x) = 2x⁴ − 3x³ + 0x² − 5x + 6 entre (x − 2):

   2   −3    0   −5    6
2 |       4    2    4   −2
   ────────────────────────
   2    1    2   −1    4

Cociente: 2x³ + x² + 2x − 1    Resto: 4

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de factores irreducibles. Técnicas:

1. Sacar factor común:

📘 Ejemplo resuelto
6x³ − 9x² + 3x = 3x(2x² − 3x + 1) = 3x(2x − 1)(x − 1)

2. Identidades notables:

📘 Ejemplo resuelto
x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² + 4)(x² − 4) = (x² + 4)(x + 2)(x − 2)
4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²   (cuadrado de un binomio)

3. Ruffini + teorema del factor: si P(a) = 0, entonces (x − a) es factor. Buscamos raíces enteras entre los divisores del término independiente.

📘 Ejemplo resuelto
Factorizar P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6:
Divisores de 6: ±1, ±2, ±3, ±6
P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ✓ → (x − 1) es factor
Ruffini con x = 1: cociente = x² − x − 6
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios

Para operar con fracciones algebraicas, necesitamos el MCD y MCM de polinomios:

MCD: producto de los factores comunes con el menor exponente.

MCM: producto de todos los factores con el mayor exponente.

📘 Ejemplo resuelto
A(x) = (x − 1)²(x + 2)    B(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)
MCD = (x − 1)(x + 2)
MCM = (x − 1)²(x + 2)(x + 3)

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios P(x)/Q(x), con Q(x) ≠ 0. Su dominio son todos los valores de x que no anulan el denominador.

Simplificación: se factorizan numerador y denominador y se cancelan factores comunes.

📘 Ejemplo resuelto
(x² − 4) / (x² + 4x + 4) = (x+2)(x−2) / (x+2)² = (x−2)/(x+2)   (x ≠ −2)

Suma y resta: se busca el MCM de los denominadores.

📘 Ejemplo resuelto
2/(x−1) + 3/(x+2)
MCM = (x−1)(x+2)
= [2(x+2) + 3(x−1)] / [(x−1)(x+2)]
= (2x + 4 + 3x − 3) / [(x−1)(x+2)]
= (5x + 1) / [(x−1)(x+2)]

Multiplicación y división: se multiplican en línea y se simplifica.

📘 Ejemplo resuelto
[(x²−1)/(x+3)] × [(x+3)/(x−1)]
= (x²−1)/( x−1) = (x+1)(x−1)/(x−1) = x + 1   (x ≠ 1, x ≠ −3)
✏️ Ejercicios
1. Factoriza completamente: a) x³ + 3x² − 4x − 12   b) 2x⁴ − 18x²   c) x⁴ − 5x² + 4

2. Halla el MCD y el MCM de: P(x) = x³ − x y Q(x) = x² − 2x + 1

3. Simplifica: a) (x²−9)/(x²−x−6)   b) (2x²+6x)/(x²+5x+6)   c) (x³−8)/(x²−4)

4. Opera y simplifica: 1/(x−2) − 2/(x+1) + 3/(x²−x−2)

5. Calcula: [(x²−4x+4)/(x²−1)] × [(x+1)/(x−2)]

6. Divide: [(x²+x)/(x−3)] ÷ [(x²+2x+1)/(x²−9)]

7. Halla el valor de k para que x = −2 sea raíz de P(x) = x³ + kx² + x − 2.

8. Demuestra que x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²) desarrollando el segundo miembro.

9. Simplifica: [(x+1)/(x²−x)] − [1/(x−1)] + [1/x]

10. Determina el dominio (valores permitidos de x) de: f(x) = (x+3)/(x²−5x+6)
📋 Resumen de la lección
  • Factorizar = expresar un polinomio como producto de factores irreducibles.
  • Técnicas: factor común, identidades notables, Ruffini + teorema del factor.
  • Las fracciones algebraicas son cocientes de polinomios. Se simplifican factorizando.
  • Para sumar/restar fracciones algebraicas se usa el MCM de los denominadores.
  • El dominio excluye los valores de x que anulan el denominador.
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