Posiciones relativas, distancias y ángulos

Introducción

La geometría analítica permite estudiar figuras con números. Si situamos los puntos en unos ejes de coordenadas y describimos las rectas con ecuaciones, podemos calcular distancias, saber si dos rectas se cortan o son paralelas y medir el ángulo que forman, sin necesidad de dibujar.

Explicación

Distancia entre dos puntos. La distancia entre A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es el módulo del vector AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁). Se obtiene con el teorema de Pitágoras:

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Posición relativa de dos rectas. Dos rectas del plano pueden ser:

• Secantes: se cortan en un único punto. En forma explícita (y = mx + n) tienen pendientes distintas.
• Paralelas: no tienen ningún punto en común. Tienen la misma pendiente y distinta ordenada en el origen.
• Coincidentes: son la misma recta. Tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen.

Si las rectas están en forma general (Ax + By + C = 0), conviene despejar y para comparar pendientes, o resolver el sistema que forman: una solución (secantes), ninguna (paralelas) o infinitas (coincidentes).

Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que se cortan formando un ángulo de 90°. Dos rectas de pendientes m₁ y m₂ son perpendiculares si m₁ · m₂ = −1.

Ángulo entre dos rectas. Se calcula con sus vectores directores u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), usando el producto escalar:

cos α = |u₁v₁ + u₂v₂| / (|u| · |v|)

Se toma el valor absoluto para obtener el ángulo agudo (entre 0° y 90°). Si el producto escalar vale 0, las rectas son perpendiculares. Recuerda que la recta y = mx + n tiene como vector director (1, m).

Distancia de un punto a una recta. La distancia del punto P(x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0 es d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

Si el resultado de la fórmula es 0, el punto está sobre la recta. Todas estas distancias se expresan en las mismas unidades que los ejes de coordenadas y nunca son negativas.

Ejemplo

Ejemplo 1. Distancia entre A(1, 1) y B(4, 5): d = √(3² + 4²) = √25 = 5 unidades.

Ejemplo 2. Posición relativa de r: y = 3x − 2 y s: 6x − 2y + 1 = 0. Despejamos en s: y = 3x + 1/2. Ambas tienen pendiente 3 y distinta ordenada en el origen (−2 y 1/2), así que son paralelas.

Ejemplo 3. Ángulo entre r: y = x + 2 y s: y = 3. Vectores directores: u = (1, 1) y v = (1, 0). cos α = |1·1 + 1·0| / (√2 · 1) = 1/√2 ≈ 0,707, de donde α = 45°.

Ejercicios