Estadística y probabilidad
En 4.º de ESO consolidamos los conceptos de estadística descriptiva y profundizamos en la probabilidad, aprendiendo a calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos, así como a usar diagramas de árbol y tablas de contingencia.
Estadística descriptiva: repaso
Recordemos las medidas fundamentales:
| Medida | Fórmula | Significado |
|---|
| Media (x̄) | Σxᵢfᵢ / N | Valor promedio |
| Mediana (Me) | Valor central | Divide los datos en dos mitades iguales |
| Moda (Mo) | Valor más frecuente | Mayor frecuencia |
| Varianza (σ²) | Σfᵢ(xᵢ−x̄)² / N | Dispersión media al cuadrado |
| Desv. típica (σ) | √σ² | Dispersión en las mismas unidades que los datos |
| CV | σ/x̄ | Dispersión relativa (comparable entre distribuciones) |
Datos agrupados en intervalos
Cuando los datos son muchos o continuos, se agrupan en intervalos (clases). Se trabaja con la marca de clase (punto medio del intervalo).
📘 Ejemplo resueltoAlturas de 30 alumnos agrupadas:
| Intervalo | Marca (xᵢ) | fᵢ | xᵢ·fᵢ |
|---|
| [150, 155) | 152,5 | 4 | 610 |
| [155, 160) | 157,5 | 8 | 1260 |
| [160, 165) | 162,5 | 10 | 1625 |
| [165, 170) | 167,5 | 6 | 1005 |
| [170, 175) | 172,5 | 2 | 345 |
| Total | | 30 | 4845 |
x̄ = 4845/30 =
161,5 cm Introducción a la probabilidad
Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza (lanzar un dado, sacar una carta).
Espacio muestral (Ω): conjunto de todos los resultados posibles.
Suceso: subconjunto del espacio muestral.
Regla de Laplace
Si todos los resultados son equiprobables:
P(A) = casos favorables / casos posibles
📘 Ejemplo resueltoAl lanzar un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar par:
Casos favorables: {2, 4, 6} → 3
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6
P(par) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%
Propiedades de la probabilidad
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 para cualquier suceso A.
• P(Ω) = 1 (suceso seguro). P(∅) = 0 (suceso imposible).
• P(Ā) = 1 − P(A) (suceso contrario).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (si son independientes)
📘 Ejemplo resueltoAl lanzar un dado y una moneda simultáneamente:
P(sacar 6 y cara) = P(6) × P(cara) = (1/6) × (1/2) = 1/12
Probabilidad condicionada
La probabilidad de A sabiendo que B ya ha ocurrido:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
📘 Ejemplo resueltoEn una baraja española (40 cartas): se extrae una carta y es de oros (10 oros). ¿Cuál es la probabilidad de que sea una figura (sota, caballo o rey)?
Figuras de oros: 3. Cartas de oros: 10.
P(figura | oros) = 3/10 = 0,3 = 30%
Diagramas de árbol
Los diagramas de árbol representan experimentos compuestos (varias etapas). En cada rama se escribe la probabilidad, y la probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de sus ramas.
📘 Ejemplo resueltoUna urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen 2 bolas sin reposición.
Primera extracción: P(R₁) = 3/5, P(A₁) = 2/5
Segunda extracción si R₁: P(R₂|R₁) = 2/4, P(A₂|R₁) = 2/4
Segunda extracción si A₁: P(R₂|A₁) = 3/4, P(A₂|A₁) = 1/4
P(2 rojas) = (3/5)(2/4) = 6/20 = 3/10
P(1 roja y 1 azul) = (3/5)(2/4) + (2/5)(3/4) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5
P(2 azules) = (2/5)(1/4) = 2/20 = 1/10
Tablas de contingencia
Organizan datos de dos variables cualitativas para calcular probabilidades conjuntas, marginales y condicionadas.
📘 Ejemplo resuelto | Aprueba | Suspende | Total |
|---|
| Estudia | 45 | 5 | 50 |
| No estudia | 10 | 40 | 50 |
| Total | 55 | 45 | 100 |
P(Aprueba) = 55/100 = 0,55
P(Aprueba | Estudia) = 45/50 = 0,90
P(Estudia | Aprueba) = 45/55 ≈ 0,818
✏️ Ejercicios1. Se lanza un dado de 6 caras. Calcula: a) P(múltiplo de 3) b) P(primo) c) P(mayor que 4)
2. En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta. Calcula: a) P(rey) b) P(copas) c) P(as de espadas)
3. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
4. Una urna tiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extraen 2 sin reposición. Dibuja el diagrama de árbol y calcula P(ambas blancas).
5. En una clase, el 60% de los alumnos juegan al fútbol y el 40% al baloncesto. El 25% practica ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno practique al menos uno de los dos?
6. Se lanza una moneda 3 veces. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) P(exactamente 2 caras). c) P(al menos 1 cruz).
7. Las temperaturas de 25 días están agrupadas en intervalos: [10,15): 3, [15,20): 8, [20,25): 10, [25,30): 4. Calcula la media y la desviación típica.
8. Un test médico tiene una fiabilidad del 95% (si estás enfermo, da positivo el 95% de las veces; si estás sano, da negativo el 95%). Si el 1% de la población está enferma, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo si el test da positivo? (Usa el teorema de Bayes.)
9. Se extrae una carta de una baraja francesa (52 cartas). Si es roja, se lanza un dado. Si es negra, se lanzan dos monedas. Calcula P(obtener un 6 o dos caras).
10. Inventa un problema de probabilidad con diagrama de árbol que tenga al menos dos etapas. Resuélvelo completamente.
🎯 Aplicación prácticaSimulación de probabilidad:
1. Lanza dos dados 50 veces y anota la suma de cada tirada.
2. Construye la tabla de frecuencias y el histograma.
3. Calcula la media experimental y compárala con la media teórica (7).
4. ¿Se parece tu distribución a la distribución teórica? ¿Por qué?
🤔 ¿Sabías que...?El teorema de Bayes (1763) es la base de los filtros de spam del correo electrónico, del diagnóstico médico asistido por ordenador y de muchos algoritmos de inteligencia artificial. Thomas Bayes era un reverendo presbiteriano que nunca publicó su famoso teorema: fue su amigo Richard Price quien lo hizo póstumamente.
📋 Resumen de la lección- Probabilidad de Laplace: P(A) = favorables / posibles (si son equiprobables).
- P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). P(Ā) = 1 − P(A).
- Sucesos independientes: P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
- Diagramas de árbol: P de un camino = producto de las probabilidades de sus ramas.