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Introducción
Las funciones polinómicas y las racionales aparecen constantemente en ciencia y en la vida diaria: la trayectoria de un balón se describe con una parábola, y el tiempo que tardamos en recorrer 100 km según la velocidad, t = 100/v, es una función racional. En esta lección aprenderás a reconocerlas y a estudiar sus características principales.
Explicación
Funciones polinómicas. Son las que vienen dadas por un polinomio: f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. El grado del polinomio determina su forma:
Grado 0: función constante (recta horizontal).
Grado 1: función afín, f(x) = mx + n (una recta).
Grado 2: función cuadrática, f(x) = ax² + bx + c (una parábola con vértice en x = −b/(2a)).
Grado 3 o mayor: curvas que pueden tener varias subidas y bajadas.
Propiedades de toda función polinómica:
Su dominio son todos los números reales.
Es continua: su gráfica se dibuja sin levantar el lápiz.
Los cortes con el eje X son las raíces del polinomio (se resuelve f(x) = 0, por ejemplo factorizando con Ruffini). Un polinomio de grado n tiene, como mucho, n raíces reales.
El corte con el eje Y es el punto (0, f(0)), es decir, (0, a₀).
Funciones racionales. Son cocientes de polinomios: f(x) = P(x) / Q(x). La más sencilla es la de proporcionalidad inversa, f(x) = k/x, cuya gráfica es una hipérbola.
Su dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador, porque no se puede dividir entre 0.
En esos valores suele haber una asíntota vertical: la gráfica se dispara hacia +∞ o −∞ al acercarse.
Pueden tener una asíntota horizontal: la recta a la que se acerca la gráfica cuando x se hace muy grande o muy pequeña. Por ejemplo, si numerador y denominador tienen el mismo grado, la asíntota horizontal es y = cociente de los coeficientes principales.
No son continuas en los puntos que no pertenecen al dominio.
Para estudiar cualquiera de estas funciones conviene seguir siempre el mismo orden: dominio, cortes con los ejes, asíntotas (si es racional), crecimiento y decrecimiento, y por último una tabla de valores para dibujar la gráfica con precisión. Así se evita olvidar ningún rasgo importante.
Dominio: ℝ. Vértice: x = 4/2 = 2, f(2) = 4 − 8 + 3 = −1 → V(2, −1). Cortes con el eje X: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1 y x = 3. Corte con el eje Y: (0, 3). Como a = 1 > 0, la parábola se abre hacia arriba y tiene un mínimo en el vértice.
El denominador se anula en x = 1, así que el dominio es ℝ − {1} y hay una asíntota vertical x = 1. Numerador y denominador son de grado 1 con coeficientes principales 1 y 1, así que la asíntota horizontal es y = 1. Cortes: con el eje X, x + 1 = 0 → (−1, 0); con el eje Y, f(0) = 1/(−1) = −1 → (0, −1).
Ejercicios
¿En qué puntos corta al eje X la función f(x) = x³ − 4x?
¿Cuáles son las asíntotas de la función f(x) = (2x + 1)/(x − 3)?
Material adicional
Estadística y probabilidad
En 4.º de ESO consolidamos los conceptos de estadística descriptiva y profundizamos en la probabilidad, aprendiendo a calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos, así como a usar diagramas de árbol y tablas de contingencia.
Estadística descriptiva: repaso
Recordemos las medidas fundamentales:
Medida
Fórmula
Significado
Media (x̄)
Σxᵢfᵢ / N
Valor promedio
Mediana (Me)
Valor central
Divide los datos en dos mitades iguales
Moda (Mo)
Valor más frecuente
Mayor frecuencia
Varianza (σ²)
Σfᵢ(xᵢ−x̄)² / N
Dispersión media al cuadrado
Desv. típica (σ)
√σ²
Dispersión en las mismas unidades que los datos
CV
σ/x̄
Dispersión relativa (comparable entre distribuciones)
Datos agrupados en intervalos
Cuando los datos son muchos o continuos, se agrupan en intervalos (clases). Se trabaja con la marca de clase (punto medio del intervalo).
📘 Ejemplo resuelto
Alturas de 30 alumnos agrupadas:
Intervalo
Marca (xᵢ)
fᵢ
xᵢ·fᵢ
[150, 155)
152,5
4
610
[155, 160)
157,5
8
1260
[160, 165)
162,5
10
1625
[165, 170)
167,5
6
1005
[170, 175)
172,5
2
345
Total
30
4845
x̄ = 4845/30 = 161,5 cm
Introducción a la probabilidad
Experimento aleatorio: aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza (lanzar un dado, sacar una carta).
Espacio muestral (Ω): conjunto de todos los resultados posibles.
Suceso: subconjunto del espacio muestral.
Regla de Laplace
Si todos los resultados son equiprobables:
P(A) = casos favorables / casos posibles
📘 Ejemplo resuelto
Al lanzar un dado de 6 caras, la probabilidad de sacar par: Casos favorables: {2, 4, 6} → 3 Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 P(par) = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50%
Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta al otro:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (si son independientes)
📘 Ejemplo resuelto
Al lanzar un dado y una moneda simultáneamente: P(sacar 6 y cara) = P(6) × P(cara) = (1/6) × (1/2) = 1/12
Probabilidad condicionada
La probabilidad de A sabiendo que B ya ha ocurrido:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
📘 Ejemplo resuelto
En una baraja española (40 cartas): se extrae una carta y es de oros (10 oros). ¿Cuál es la probabilidad de que sea una figura (sota, caballo o rey)? Figuras de oros: 3. Cartas de oros: 10. P(figura | oros) = 3/10 = 0,3 = 30%
Diagramas de árbol
Los diagramas de árbol representan experimentos compuestos (varias etapas). En cada rama se escribe la probabilidad, y la probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de sus ramas.
📘 Ejemplo resuelto
Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se extraen 2 bolas sin reposición.
Primera extracción: P(R₁) = 3/5, P(A₁) = 2/5 Segunda extracción si R₁: P(R₂|R₁) = 2/4, P(A₂|R₁) = 2/4 Segunda extracción si A₁: P(R₂|A₁) = 3/4, P(A₂|A₁) = 1/4
1. Se lanza un dado de 6 caras. Calcula: a) P(múltiplo de 3) b) P(primo) c) P(mayor que 4)
2. En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta. Calcula: a) P(rey) b) P(copas) c) P(as de espadas)
3. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
4. Una urna tiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se extraen 2 sin reposición. Dibuja el diagrama de árbol y calcula P(ambas blancas).
5. En una clase, el 60% de los alumnos juegan al fútbol y el 40% al baloncesto. El 25% practica ambos deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno practique al menos uno de los dos?
6. Se lanza una moneda 3 veces. a) ¿Cuántos resultados posibles hay? b) P(exactamente 2 caras). c) P(al menos 1 cruz).
7. Las temperaturas de 25 días están agrupadas en intervalos: [10,15): 3, [15,20): 8, [20,25): 10, [25,30): 4. Calcula la media y la desviación típica.
8. Un test médico tiene una fiabilidad del 95% (si estás enfermo, da positivo el 95% de las veces; si estás sano, da negativo el 95%). Si el 1% de la población está enferma, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo si el test da positivo? (Usa el teorema de Bayes.)
9. Se extrae una carta de una baraja francesa (52 cartas). Si es roja, se lanza un dado. Si es negra, se lanzan dos monedas. Calcula P(obtener un 6 o dos caras).
10. Inventa un problema de probabilidad con diagrama de árbol que tenga al menos dos etapas. Resuélvelo completamente.
🎯 Aplicación práctica
Simulación de probabilidad: 1. Lanza dos dados 50 veces y anota la suma de cada tirada. 2. Construye la tabla de frecuencias y el histograma. 3. Calcula la media experimental y compárala con la media teórica (7). 4. ¿Se parece tu distribución a la distribución teórica? ¿Por qué?
🤔 ¿Sabías que...?
El teorema de Bayes (1763) es la base de los filtros de spam del correo electrónico, del diagnóstico médico asistido por ordenador y de muchos algoritmos de inteligencia artificial. Thomas Bayes era un reverendo presbiteriano que nunca publicó su famoso teorema: fue su amigo Richard Price quien lo hizo póstumamente.
📋 Resumen de la lección
Probabilidad de Laplace: P(A) = favorables / posibles (si son equiprobables).
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). P(Ā) = 1 − P(A).
Sucesos independientes: P(A∩B) = P(A)·P(B).
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
Diagramas de árbol: P de un camino = producto de las probabilidades de sus ramas.
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