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Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas y con radicales

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Introducción

Muchos problemas de geometría, física o economía terminan en una ecuación en la que la incógnita aparece al cuadrado, elevada a la cuarta o dentro de una raíz. En esta lección aprenderás a resolver tres tipos de ecuaciones muy relacionadas: las de segundo grado, las bicuadradas y las ecuaciones con radicales (irracionales).

Explicación

1. Ecuaciones de segundo grado. Tienen la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Se resuelven con la fórmula general:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

La expresión Δ = b² − 4ac se llama discriminante y nos dice cuántas soluciones hay antes de calcularlas:

Las ecuaciones incompletas se resuelven más rápido sin fórmula: si falta c (ax² + bx = 0), se saca factor común x; si falta b (ax² + c = 0), se despeja x² y se hace la raíz cuadrada, sin olvidar el signo ±.

2. Ecuaciones bicuadradas. Tienen la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Solo aparecen potencias pares de x. Se resuelven con un cambio de variable:

Una bicuadrada puede tener 0, 1, 2, 3 o 4 soluciones reales.

3. Ecuaciones con radicales. La incógnita aparece dentro de una raíz cuadrada. El método es:

La comprobación es obligatoria: al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas, que cumplen la ecuación elevada pero no la original, porque la raíz cuadrada nunca da un resultado negativo.

Antes de elevar al cuadrado es importante tener la raíz sola en un miembro. Si no se aísla, al elevar al cuadrado un binomio como (√x + 1)² aparece un doble producto que vuelve a contener la raíz, y la ecuación no se simplifica. Recuerda también que (a + b)² = a² + 2ab + b², y no a² + b².

Ejemplo

Ejemplo 1 (segundo grado). Resuelve 2x² − 5x − 3 = 0.

a = 2, b = −5, c = −3. Δ = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49 > 0, así que hay dos soluciones.

x = (5 ± 7) / 4 → x₁ = 12/4 = 3 y x₂ = −2/4 = −1/2.

Ejemplo 2 (con radicales). Resuelve √(x + 7) = x + 1.

La raíz ya está aislada. Elevamos al cuadrado: x + 7 = x² + 2x + 1, es decir, x² + x − 6 = 0, cuyas soluciones son x = 2 y x = −3.

Comprobamos: para x = 2, √9 = 3 y 2 + 1 = 3, se cumple. Para x = −3, √4 = 2 pero −3 + 1 = −2, no se cumple. La única solución es x = 2.

Ejercicios

Resuelve la ecuación bicuadrada x⁴ − 13x² + 36 = 0.

Resuelve la ecuación √(2x + 3) = x y comprueba las soluciones.

Material adicional

Funciones: cuadrática, exponencial y otras

En 4.º de ESO ampliamos el catálogo de funciones con las funciones cuadráticas (parábolas), las funciones definidas a trozos, las funciones de proporcionalidad inversa y las funciones exponenciales.

Repaso: estudio general de una función

Para estudiar una función f(x) analizamos:

Dominio: valores de x donde f está definida.

Recorrido: valores que toma f(x).

Cortes con los ejes: con el eje X (resolver f(x)=0) y con el eje Y (calcular f(0)).

Signo: intervalos donde f(x) > 0 y f(x) < 0.

Crecimiento/decrecimiento: intervalos donde f sube o baja.

Máximos y mínimos: valores extremos.

Continuidad: si la gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz.

Simetría: par si f(−x) = f(x), impar si f(−x) = −f(x).

Función cuadrática: y = ax² + bx + c

Su gráfica es una parábola con vértice en:

V = (−b/(2a), f(−b/(2a)))

Si a > 0: parábola abierta hacia arriba (mínimo). Si a < 0: hacia abajo (máximo).

📘 Ejemplo resuelto
Estudiar f(x) = −x² + 4x − 3:
Vértice: x_v = −4/(2·(−1)) = 2   y_v = −4+8−3 = 1 → V(2, 1)
Cortes con X: −x²+4x−3 = 0 → x²−4x+3 = 0 → x = 1, x = 3
Corte con Y: f(0) = −3 → (0, −3)
Orientación: a = −1 < 0 → abierta hacia abajo (máximo en V)
Dominio: ℝ    Recorrido: (−∞, 1]
Creciente: (−∞, 2)    Decreciente: (2, +∞)

Función de proporcionalidad inversa: y = k/x

También llamada función hiperbólica. Su gráfica tiene dos ramas, situadas en dos cuadrantes opuestos. Las rectas x = 0 e y = 0 son asíntotas.

Dominio: ℝ − {0}. No pasa por el origen.

Si k > 0: ramas en el 1.er y 3.er cuadrante. Si k < 0: en el 2.º y 4.º.

📘 Ejemplo resuelto
f(x) = 6/x:
• f(1) = 6, f(2) = 3, f(3) = 2, f(6) = 1
• f(−1) = −6, f(−2) = −3
• Asíntotas: eje X (y = 0) y eje Y (x = 0)
• Es decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞) por separado.

Función exponencial: y = aˣ

La función exponencial tiene la variable en el exponente. Su comportamiento depende de la base a > 0, a ≠ 1:

CondiciónComportamientoEjemplo
a > 1Crecimiento exponencialy = 2ˣ, y = 3ˣ, y = eˣ
0 < a < 1Decrecimiento exponencialy = (1/2)ˣ, y = 0,5ˣ

Propiedades comunes:

• Dominio: ℝ.   Recorrido: (0, +∞).   Siempre positiva.

• Pasa siempre por (0, 1) porque a⁰ = 1.

• Asíntota horizontal: el eje X (y = 0).

📘 Ejemplo resuelto
Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 100 bacterias:
N(t) = 100 · 2ᵗ
N(0) = 100, N(1) = 200, N(3) = 800, N(10) = 100 · 1024 = 102.400
La función crece muy rápidamente → crecimiento exponencial.

Función logarítmica (introducción)

La función logarítmica y = log_a(x) es la inversa de la exponencial y = aˣ:

y = log_a(x)  ⟺  aʸ = x

Dominio: (0, +∞). Recorrido: ℝ. Pasa por (1, 0). Asíntota vertical: x = 0.

Es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1.

Funciones definidas a trozos

Una función a trozos se define con diferentes expresiones según el intervalo de x:

📘 Ejemplo resuelto
f(x) = { x + 2    si x < 1     ;    3    si 1 ≤ x < 4     ;    −x + 7    si x ≥ 4 }

• Para x = 0: f(0) = 0 + 2 = 2
• Para x = 2: f(2) = 3
• Para x = 5: f(5) = −5 + 7 = 2
• Hay que comprobar si es continua en x = 1 y x = 4 (si los valores coinciden en los puntos de unión).

Tasa de variación media

La tasa de variación media (TVM) de f en un intervalo [a, b] mide el cambio promedio:

TVM = (f(b) − f(a)) / (b − a)

Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que une (a, f(a)) y (b, f(b)).

✏️ Ejercicios
1. Estudia completamente la función f(x) = x² − 2x − 3 (vértice, cortes, signo, crecimiento, recorrido).

2. Representa la función g(x) = −2x² + 8x − 6 y determina para qué valores de x es g(x) > 0.

3. Dibuja y = 4/x indicando dominio, asíntotas y al menos 6 puntos.

4. Compara las funciones y = 2ˣ e y = (1/2)ˣ. Dibuja ambas en el mismo eje e indica sus diferencias.

5. Un capital de 5.000 € se invierte al 3% de interés compuesto anual. La fórmula es C(t) = 5000·(1,03)ᵗ. a) ¿Cuánto habrá tras 10 años? b) ¿Cuántos años tardará en duplicarse?

6. Representa la función a trozos: f(x) = { 2x + 1 si x < 0 ; x² si 0 ≤ x ≤ 3 ; 9 si x > 3 }. ¿Es continua?

7. Calcula la TVM de f(x) = x³ en los intervalos [0, 2] y [1, 3]. ¿En cuál crece más rápido?

8. La población de una ciudad decrece un 2% anual. Si ahora tiene 50.000 habitantes, modela P(t) y calcula la población en 15 años.

9. Halla el dominio de: a) f(x) = √(x−3)   b) g(x) = 1/(x²−4)   c) h(x) = log(x+1)

10. Una pelota se lanza verticalmente. Su altura es h(t) = −5t² + 20t + 1. a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es esa altura? c) ¿Cuándo toca el suelo?
📋 Resumen de la lección
  • La parábola y = ax² + bx + c tiene vértice en x = −b/(2a). Si a>0, mínimo; si a<0, máximo.
  • La función y = k/x tiene asíntotas en los ejes y dominio ℝ−{0}.
  • La exponencial y = aˣ (a>1) crece muy rápido. Dominio ℝ, recorrido (0,+∞).
  • Las funciones a trozos se definen con distintas expresiones según intervalos.
  • La TVM mide el cambio promedio: TVM = (f(b)−f(a))/(b−a).
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