Funciones: cuadrática, exponencial y otras
En 4.º de ESO ampliamos el catálogo de funciones con las funciones cuadráticas (parábolas), las funciones definidas a trozos, las funciones de proporcionalidad inversa y las funciones exponenciales.
Repaso: estudio general de una función
Para estudiar una función f(x) analizamos:
Dominio: valores de x donde f está definida.
Recorrido: valores que toma f(x).
Cortes con los ejes: con el eje X (resolver f(x)=0) y con el eje Y (calcular f(0)).
Signo: intervalos donde f(x) > 0 y f(x) < 0.
Crecimiento/decrecimiento: intervalos donde f sube o baja.
Máximos y mínimos: valores extremos.
Continuidad: si la gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz.
Simetría: par si f(−x) = f(x), impar si f(−x) = −f(x).
Función cuadrática: y = ax² + bx + c
Su gráfica es una parábola con vértice en:
V = (−b/(2a), f(−b/(2a)))
Si a > 0: parábola abierta hacia arriba (mínimo). Si a < 0: hacia abajo (máximo).
📘 Ejemplo resueltoEstudiar f(x) = −x² + 4x − 3:
Vértice: x_v = −4/(2·(−1)) = 2 y_v = −4+8−3 = 1 → V(2, 1)
Cortes con X: −x²+4x−3 = 0 → x²−4x+3 = 0 → x = 1, x = 3
Corte con Y: f(0) = −3 → (0, −3)
Orientación: a = −1 < 0 → abierta hacia abajo (máximo en V)
Dominio: ℝ Recorrido: (−∞, 1]
Creciente: (−∞, 2) Decreciente: (2, +∞)
Función de proporcionalidad inversa: y = k/x
También llamada función hiperbólica. Su gráfica tiene dos ramas (una en cada cuadrante). Las rectas x = 0 e y = 0 son asíntotas.
Dominio: ℝ − {0}. No pasa por el origen.
Si k > 0: ramas en el 1.er y 3.er cuadrante. Si k < 0: en el 2.º y 4.º.
📘 Ejemplo resueltof(x) = 6/x:
• f(1) = 6, f(2) = 3, f(3) = 2, f(6) = 1
• f(−1) = −6, f(−2) = −3
• Asíntotas: eje X (y = 0) y eje Y (x = 0)
• Es decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞) por separado.
Función exponencial: y = aˣ
La función exponencial tiene la variable en el exponente. Su comportamiento depende de la base a > 0, a ≠ 1:
| Condición | Comportamiento | Ejemplo |
|---|
| a > 1 | Crecimiento exponencial | y = 2ˣ, y = 3ˣ, y = eˣ |
| 0 < a < 1 | Decrecimiento exponencial | y = (1/2)ˣ, y = 0,5ˣ |
Propiedades comunes:
• Dominio: ℝ. Recorrido: (0, +∞). Siempre positiva.
• Pasa siempre por (0, 1) porque a⁰ = 1.
• Asíntota horizontal: el eje X (y = 0).
📘 Ejemplo resueltoUn cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 100 bacterias:
N(t) = 100 · 2ᵗ
N(0) = 100, N(1) = 200, N(3) = 800, N(10) = 100 · 1024 = 102.400
La función crece muy rápidamente → crecimiento exponencial.
Función logarítmica (introducción)
La función logarítmica y = log_a(x) es la inversa de la exponencial y = aˣ:
y = log_a(x) ⟺ aʸ = x
Dominio: (0, +∞). Recorrido: ℝ. Pasa por (1, 0). Asíntota vertical: x = 0.
Es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1.
Funciones definidas a trozos
Una función a trozos se define con diferentes expresiones según el intervalo de x:
📘 Ejemplo resueltof(x) = { x + 2 si x < 1 ; 3 si 1 ≤ x < 4 ; −x + 7 si x ≥ 4 }
• Para x = 0: f(0) = 0 + 2 = 2
• Para x = 2: f(2) = 3
• Para x = 5: f(5) = −5 + 7 = 2
• Hay que comprobar si es continua en x = 1 y x = 4 (si los valores coinciden en los puntos de unión).
Tasa de variación media
La tasa de variación media (TVM) de f en un intervalo [a, b] mide el cambio promedio:
TVM = (f(b) − f(a)) / (b − a)
Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que une (a, f(a)) y (b, f(b)).
✏️ Ejercicios1. Estudia completamente la función f(x) = x² − 2x − 3 (vértice, cortes, signo, crecimiento, recorrido).
2. Representa la función g(x) = −2x² + 8x − 6 y determina para qué valores de x es g(x) > 0.
3. Dibuja y = 4/x indicando dominio, asíntotas y al menos 6 puntos.
4. Compara las funciones y = 2ˣ e y = (1/2)ˣ. Dibuja ambas en el mismo eje e indica sus diferencias.
5. Un capital de 5.000 € se invierte al 3% de interés compuesto anual. La fórmula es C(t) = 5000·(1,03)ᵗ. a) ¿Cuánto habrá tras 10 años? b) ¿Cuántos años tardará en duplicarse?
6. Representa la función a trozos: f(x) = { 2x + 1 si x < 0 ; x² si 0 ≤ x ≤ 3 ; 9 si x > 3 }. ¿Es continua?
7. Calcula la TVM de f(x) = x³ en los intervalos [0, 2] y [1, 3]. ¿En cuál crece más rápido?
8. La población de una ciudad decrece un 2% anual. Si ahora tiene 50.000 habitantes, modela P(t) y calcula la población en 15 años.
9. Halla el dominio de: a) f(x) = √(x−3) b) g(x) = 1/(x²−4) c) h(x) = log(x+1)
10. Una pelota se lanza verticalmente. Su altura es h(t) = −5t² + 20t + 1. a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima? b) ¿Cuál es esa altura? c) ¿Cuándo toca el suelo?
📋 Resumen de la lección- La parábola y = ax² + bx + c tiene vértice en x = −b/(2a). Si a>0, mínimo; si a<0, máximo.
- La función y = k/x tiene asíntotas en los ejes y dominio ℝ−{0}.
- La exponencial y = aˣ (a>1) crece muy rápido. Dominio ℝ, recorrido (0,+∞).
- Las funciones a trozos se definen con distintas expresiones según intervalos.
- La TVM mide el cambio promedio: TVM = (f(b)−f(a))/(b−a).