Geometría: semejanza, áreas y volúmenes
En esta lección estudiamos la semejanza de figuras, el teorema de Tales, y calculamos áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos más importantes.
Semejanza de figuras
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque distinto tamaño. Sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
La razón de semejanza (k) es el cociente entre lados correspondientes:
k = lado de la figura ampliada / lado de la figura original
Si k > 1: ampliación. Si k < 1: reducción. Si k = 1: figuras iguales (congruentes).
Teorema de Tales
Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos que determinan sobre una secante son proporcionales a los que determinan sobre la otra:
Si r ∥ s ∥ t, entonces: AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'
📘 Ejemplo resueltoUn poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m. Un edificio próximo proyecta una sombra de 18 m.
Los rayos del sol son paralelos → podemos aplicar Tales:
2/3 = h/18 → h = 2 × 18/3 = 12 m
El edificio mide 12 metros de altura.
Criterios de semejanza de triángulos
| Criterio | Descripción |
|---|
| AA | Dos ángulos iguales (el tercero se deduce) |
| LAL | Dos lados proporcionales y ángulo comprendido igual |
| LLL | Los tres lados proporcionales |
Relación entre áreas y volúmenes de figuras semejantes
Si la razón de semejanza entre dos figuras es k:
Razón de áreas = k²
Razón de volúmenes = k³
📘 Ejemplo resueltoDos cubos tienen aristas de 3 cm y 6 cm.
k = 6/3 = 2
Razón de áreas = 2² = 4 (el grande tiene 4 veces más superficie)
Razón de volúmenes = 2³ = 8 (el grande tiene 8 veces más volumen)
Volumen pequeño = 27 cm³ Volumen grande = 216 cm³ → 216/27 = 8 ✓
Áreas de figuras planas
| Figura | Fórmula |
|---|
| Triángulo | A = b·h/2 |
| Rectángulo | A = b·h |
| Paralelogramo | A = b·h |
| Trapecio | A = (B+b)·h/2 |
| Rombo | A = D·d/2 |
| Polígono regular | A = perímetro · apotema / 2 |
| Círculo | A = πr² |
| Corona circular | A = π(R² − r²) |
| Sector circular | A = (α/360)·πr² |
Volúmenes de cuerpos geométricos
| Cuerpo | Volumen | Área lateral / total |
|---|
| Prisma | V = A_base × h | A_lat = perímetro_base × h |
| Cilindro | V = πr²h | A_lat = 2πrh A_total = 2πr(r+h) |
| Pirámide | V = (1/3)·A_base × h | A_lat = (1/2)·perímetro_base × apotema |
| Cono | V = (1/3)·πr²h | A_lat = πrg (g = generatriz) |
| Esfera | V = (4/3)πr³ | A = 4πr² |
La generatriz del cono es g = √(r² + h²).
📘 Ejemplo resueltoProblema: Calcula el volumen y el área total de un cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm.
V = π × 5² × 12 = 300π ≈ 942,48 cm³
A_total = 2π × 5 × (5 + 12) = 170π ≈ 534,07 cm²
📘 Ejemplo resueltoProblema: Una esfera tiene radio 6 cm. Calcula su volumen y su área.
V = (4/3)π × 6³ = (4/3)π × 216 = 288π ≈ 904,78 cm³
A = 4π × 6² = 144π ≈ 452,39 cm²
Troncos de pirámide y cono
Un tronco se obtiene al cortar una pirámide o un cono por un plano paralelo a la base:
V_tronco cono = (πh/3)(R² + r² + Rr)
✏️ Ejercicios1. Un triángulo tiene lados 6, 8 y 10 cm. Otro triángulo semejante tiene el lado mayor de 25 cm. Halla los otros dos lados y la razón de semejanza.
2. Un mapa tiene escala 1:50.000. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 4,5 cm, ¿cuál es la distancia real?
3. Calcula la altura de un árbol si su sombra mide 8 m y al mismo tiempo un palo de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m.
4. Dos figuras semejantes tienen razón de semejanza k = 3. Si el área de la pequeña es 12 cm², ¿cuál es el área de la grande?
5. Calcula el volumen y el área total de un cono de radio 4 cm y altura 9 cm.
6. Una piscina tiene forma de prisma rectangular de 12 m × 5 m × 1,8 m. ¿Cuántos litros de agua caben? (1 m³ = 1.000 L)
7. Halla el volumen de una pirámide de base cuadrada de 10 cm de lado y 15 cm de altura.
8. Una pelota de fútbol (esfera) tiene 22 cm de diámetro. Calcula su volumen y el área de su superficie.
9. Se amplía una fotografía rectangular de 10 cm × 15 cm con razón k = 2,5. ¿Cuáles son las nuevas dimensiones? ¿Cuántas veces es mayor el área?
10. Un depósito cilíndrico tiene 2 m de diámetro y 3 m de altura. a) ¿Cuántos litros caben? b) Si se llena al 80%, ¿cuántos litros hay?
🎯 Aplicación prácticaMaqueta a escala:
1. Elige un edificio o monumento que te guste.
2. Busca sus dimensiones reales.
3. Elige una escala adecuada (1:100, 1:200...) y calcula las dimensiones de la maqueta.
4. Calcula la razón de áreas y de volúmenes con respecto al original.
📋 Resumen de la lección- Figuras semejantes: mismos ángulos, lados proporcionales. Razón k.
- Teorema de Tales: rectas paralelas cortadas por secantes producen segmentos proporcionales.
- Si la razón de semejanza es k: razón de áreas = k², razón de volúmenes = k³.
- Volúmenes: prisma V=A·h, cilindro V=πr²h, pirámide V=Ah/3, cono V=πr²h/3, esfera V=4πr³/3.
- Áreas: esfera A=4πr², cilindro A_total=2πr(r+h), cono A_lat=πrg.