Dominio, recorrido y propiedades de funciones

Introducción

Para estudiar una función no basta con saber su fórmula: hay que saber para qué valores existe, qué valores puede tomar y cómo se comporta (si sube, si baja, dónde alcanza máximos o mínimos…). En esta lección aprenderás a calcular el dominio y el recorrido y a describir las principales propiedades de una función.

Explicación

El dominio, Dom f, es el conjunto de valores de x para los que la función se puede calcular. Reglas básicas:

• Polinomios (f(x) = 2x + 3, f(x) = x² − 4…): dominio = ℝ, todos los números reales.
• Funciones racionales (con x en el denominador): se excluyen los valores que anulan el denominador. Ejemplo: f(x) = 1/(x − 2) tiene Dom f = ℝ − {2}.
• Raíces de índice par: el radicando debe ser mayor o igual que 0. Ejemplo: f(x) = √(x − 1) exige x − 1 ≥ 0, es decir, Dom f = [1, +∞).

El recorrido (o imagen), Im f, es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y = f(x). Se suele obtener a partir de la gráfica o razonando sobre la fórmula.

Propiedades principales:

• Puntos de corte con los ejes: con el eje Y se calcula f(0); con el eje X se resuelve f(x) = 0.
• Continuidad: una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz.
• Monotonía: es creciente en un intervalo si al aumentar x aumenta f(x), y decreciente si al aumentar x disminuye f(x).
• Extremos: un máximo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer; un mínimo, donde pasa de decrecer a crecer.
• Simetría: es par si f(−x) = f(x) (simétrica respecto al eje Y) e impar si f(−x) = −f(x) (simétrica respecto al origen).
• Periodicidad: es periódica si sus valores se repiten cada cierto intervalo, llamado periodo.

Para el recorrido de una parábola f(x) = ax² + bx + c se calcula el vértice, cuya abscisa es x = −b/(2a). Si a > 0 el vértice es un mínimo y el recorrido es [f(x_v), +∞); si a < 0, es un máximo y el recorrido es (−∞, f(x_v)].

Ejemplo

Ejemplo 1. f(x) = 2x + 3 es un polinomio: Dom f = ℝ. Al ser una recta no horizontal, toma todos los valores: Im f = ℝ. Es creciente en todo su dominio.

Ejemplo 2. g(x) = √(x − 1). Dominio: x − 1 ≥ 0, luego Dom g = [1, +∞). Una raíz cuadrada nunca es negativa y vale 0 en x = 1, así que Im g = [0, +∞). Es creciente.

Ejemplo 3. h(x) = x² − 4. Dom h = ℝ. Es una parábola con vértice en (0, −4): decrece en (−∞, 0), crece en (0, +∞) y tiene un mínimo en (0, −4). Por tanto Im h = [−4, +∞). Como h(−x) = (−x)² − 4 = h(x), es par. Corta al eje X en x = −2 y x = 2, y al eje Y en (0, −4).

Ejercicios