Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
En 4.º de ESO ampliamos los tipos de ecuaciones y aprendemos a resolver inecuaciones (desigualdades). También trabajaremos con sistemas de ecuaciones de distintos tipos.
Ecuaciones de segundo grado: repaso
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se resuelven con el cambio de variable t = x²:
📘 Ejemplo resueltoResolver x⁴ − 5x² + 4 = 0:
Cambio: t = x² → t² − 5t + 4 = 0
t = (5 ± √(25−16))/2 = (5 ± 3)/2
t₁ = 4 → x² = 4 → x = ±2
t₂ = 1 → x² = 1 → x = ±1
Soluciones: x = −2, −1, 1, 2
⚠️ ImportanteTras el cambio de variable, solo se aceptan los valores de t ≥ 0, ya que t = x² ≥ 0. Si se obtiene t < 0, esa rama no da soluciones reales.
Ecuaciones con radicales
Para resolver ecuaciones con raíces cuadradas, se aísla el radical y se elevan ambos miembros al cuadrado. Es obligatorio comprobar las soluciones.
📘 Ejemplo resueltoResolver √(2x + 3) = x − 1:
Elevamos al cuadrado: 2x + 3 = (x − 1)² = x² − 2x + 1
x² − 4x − 2 = 0
x = (4 ± √(16+8))/2 = (4 ± √24)/2 = (4 ± 2√6)/2 = 2 ± √6
Comprobación:
x₁ = 2 + √6 ≈ 4,45: √(2·4,45+3) = √11,9 ≈ 3,45 y x−1 = 3,45 ✓
x₂ = 2 − √6 ≈ −0,45: √(2·(−0,45)+3) = √2,1 ≈ 1,45 y x−1 = −1,45 ✗
Solución válida: x = 2 + √6
Ecuaciones con fracciones algebraicas
Se multiplica toda la ecuación por el MCM de los denominadores para eliminar fracciones. Hay que excluir los valores que anulan algún denominador.
📘 Ejemplo resueltoResolver 3/(x−1) + 1/(x+1) = 2/(x²−1):
Como x²−1 = (x−1)(x+1), el MCM = (x−1)(x+1)
3(x+1) + 1(x−1) = 2
3x + 3 + x − 1 = 2
4x + 2 = 2 → 4x = 0 → x = 0
Comprobamos que x = 0 no anula ningún denominador ✓
Inecuaciones de primer grado
Se resuelven como las ecuaciones, pero con una regla crucial:
⚠️ ImportanteAl multiplicar o dividir ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
📘 Ejemplo resueltoResolver −3x + 6 > 0:
−3x > −6
x < 2 (dividimos por −3, se invierte el sentido)
Solución: x ∈ (−∞, 2)
Inecuaciones de segundo grado
Para resolver ax² + bx + c > 0 (o <, ≥, ≤):
1. Resolver la ecuación ax² + bx + c = 0 (hallar las raíces).
2. Estudiar el signo de la expresión en cada intervalo determinado por las raíces.
3. Seleccionar los intervalos que satisfacen la desigualdad.
📘 Ejemplo resueltoResolver x² − 3x − 4 ≤ 0:
x² − 3x − 4 = 0 → x = (3 ± √(9+16))/2 = (3 ± 5)/2 → x = −1, x = 4
Signo de x² − 3x − 4:
• Para x < −1: (+)(+) > 0 (tomamos x = −2: 4+6−4 = 6 > 0)
• Para −1 < x < 4: se prueba x = 0: 0−0−4 = −4 < 0
• Para x > 4: se prueba x = 5: 25−15−4 = 6 > 0
La expresión es ≤ 0 en [−1, 4]
Sistemas de ecuaciones lineales
Repasamos los métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción. En 4.º se trabaja con mayor complejidad.
📘 Ejemplo resueltoSistema con fracciones:
x/2 + y/3 = 1 (I)
x/4 − y/6 = 0 (II)
Multiplicamos (I) por 6: 3x + 2y = 6
Multiplicamos (II) por 12: 3x − 2y = 0
Sumamos: 6x = 6 → x = 1 → y = 3/2
Solución: (1, 3/2)
Sistemas no lineales
Cuando alguna ecuación es de grado 2 o superior, el sistema es no lineal. Se resuelve generalmente por sustitución.
📘 Ejemplo resueltox + y = 5
x² + y² = 13
De la primera: y = 5 − x
x² + (5−x)² = 13
x² + 25 − 10x + x² = 13
2x² − 10x + 12 = 0 → x² − 5x + 6 = 0
x = 2 → y = 3 o x = 3 → y = 2
Soluciones: (2, 3) y (3, 2)
✏️ Ejercicios1. Resuelve las ecuaciones bicuadradas: a) x⁴ − 10x² + 9 = 0 b) x⁴ − 13x² + 36 = 0
2. Resuelve: √(3x − 2) = x − 2 (no olvides comprobar)
3. Resuelve: 2/(x+1) − 1/(x−2) = 1
4. Resuelve las inecuaciones: a) 2x − 5 > 3x + 1 b) −4x + 8 ≤ 0
5. Resuelve: x² − 2x − 8 > 0. Expresa la solución como unión de intervalos.
6. Resuelve el sistema no lineal: x − y = 1 x·y = 6
7. Resuelve: x² + y² = 25 x − y = 1
8. Halla dos números cuya suma sea 10 y la suma de sus cuadrados sea 52.
9. Resuelve la inecuación: (x−1)/(x+3) ≥ 0
10. El producto de dos números consecutivos es 132. Plantea la ecuación y encuentra los números.
📋 Resumen de la lección- Ecuaciones bicuadradas: cambio t = x², resolver en t y volver a x (solo t ≥ 0).
- Ecuaciones con radicales: aislar, elevar al cuadrado y SIEMPRE comprobar.
- Inecuaciones: al multiplicar/dividir por negativo, se invierte la desigualdad.
- Inecuaciones de 2.º grado: hallar raíces y estudiar el signo en cada intervalo.
- Sistemas no lineales: generalmente se resuelven por sustitución.