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Introducción
Igual que dividimos números, también podemos dividir polinomios. Esta operación sirve para factorizar polinomios, simplificar fracciones algebraicas y encontrar las raíces de una ecuación. En esta lección veremos la división general y un método rápido para dividir entre (x − a): la regla de Ruffini.
Explicación
Dividir un polinomio P(x) (dividendo) entre otro Q(x) (divisor) es encontrar un cociente C(x) y un resto R(x) tales que:
P(x) = Q(x) · C(x) + R(x), con el grado de R(x) menor que el grado de Q(x).
División general (algoritmo de la caja). Se ordenan ambos polinomios de mayor a menor grado (dejando hueco o poniendo 0 en los términos que falten) y se repite:
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: es el primer término del cociente.
Se multiplica ese término por todo el divisor y se resta del dividendo (cambiando signos).
Se repite con el polinomio que queda hasta que su grado sea menor que el del divisor: eso es el resto.
Regla de Ruffini. Cuando el divisor es de la forma (x − a), la división se hace solo con los coeficientes:
Se escriben los coeficientes del dividendo, ordenados y con 0 en los términos que falten.
Se pone a a la izquierda. Ojo: si el divisor es (x + 2), entonces a = −2.
Se baja el primer coeficiente; se multiplica por a, se coloca debajo del siguiente y se suma. Se repite hasta el final.
El último número es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que el dividendo.
Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − a) es igual a P(a). Si P(a) = 0, entonces a es una raíz de P(x) y (x − a) es un factor del polinomio.
Errores frecuentes. Olvidar los ceros de los términos que faltan (en x³ − 2x + 1 hay que escribir los coeficientes 1, 0, −2, 1); usar a = 2 cuando el divisor es (x + 2), cuando lo correcto es a = −2; y aplicar Ruffini a divisores que no son de la forma (x − a), como x² + 1, donde hay que usar la división general. Para comprobar cualquier división basta con calcular Q(x) · C(x) + R(x) y ver que coincide con P(x).
Coeficientes: 1, 2, 3, 4. Como el divisor es x + 1, a = −1.
Bajamos el 1.
1 · (−1) = −1; 2 + (−1) = 1.
1 · (−1) = −1; 3 + (−1) = 2.
2 · (−1) = −2; 4 + (−2) = 2.
Cociente: x² + x + 2. Resto: 2. Comprobación con el teorema del resto: P(−1) = −1 + 2 − 3 + 4 = 2.
Ejemplo 2 (división general). Divide (2x³ − 3x² + x − 5) entre (x² − x + 1).
2x³ : x² = 2x. Restamos 2x · (x² − x + 1) = 2x³ − 2x² + 2x y queda −x² − x − 5.
−x² : x² = −1. Restamos −1 · (x² − x + 1) = −x² + x − 1 y queda −2x − 4.
Cociente: 2x − 1. Resto: −2x − 4 (grado 1, menor que el del divisor).
Ejercicios
Divide x³ − 4x² + x + 5 entre (x − 3) con la regla de Ruffini. ¿Cuál es el resto?
¿Cuál es el cociente de dividir 2x³ + x² − 5x + 2 entre (x + 2)?
Material adicional
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
En 4.º de ESO ampliamos los tipos de ecuaciones y aprendemos a resolver inecuaciones (desigualdades). También trabajaremos con sistemas de ecuaciones de distintos tipos.
Ecuaciones de segundo grado: repaso
ax² + bx + c = 0 → x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se resuelven con el cambio de variable t = x²:
Signo de x² − 3x − 4: • Para x < −1: (−)(−) > 0 (tomamos x = −2: 4+6−4 = 6 > 0) • Para −1 < x < 4: se prueba x = 0: 0−0−4 = −4 < 0 • Para x > 4: se prueba x = 5: 25−15−4 = 6 > 0
La expresión es ≤ 0 en [−1, 4]
Sistemas de ecuaciones lineales
Repasamos los métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción. En 4.º se trabaja con mayor complejidad.
📘 Ejemplo resuelto
Sistema con fracciones: x/2 + y/3 = 1 (I) x/4 − y/6 = 0 (II)
Multiplicamos (I) por 6: 3x + 2y = 6 Multiplicamos (II) por 12: 3x − 2y = 0 Sumamos: 6x = 6 → x = 1 → y = 3/2 Solución: (1, 3/2)
Sistemas no lineales
Cuando alguna ecuación es de grado 2 o superior, el sistema es no lineal. Se resuelve generalmente por sustitución.
📘 Ejemplo resuelto
x + y = 5 x² + y² = 13
De la primera: y = 5 − x x² + (5−x)² = 13 x² + 25 − 10x + x² = 13 2x² − 10x + 12 = 0 → x² − 5x + 6 = 0 x = 2 → y = 3 o x = 3 → y = 2 Soluciones: (2, 3) y (3, 2)
✏️ Ejercicios
1. Resuelve las ecuaciones bicuadradas: a) x⁴ − 10x² + 9 = 0 b) x⁴ − 13x² + 36 = 0
2. Resuelve: √(3x − 2) = x − 2 (no olvides comprobar)
3. Resuelve: 2/(x+1) − 1/(x−2) = 1
4. Resuelve las inecuaciones: a) 2x − 5 > 3x + 1 b) −4x + 8 ≤ 0
5. Resuelve: x² − 2x − 8 > 0. Expresa la solución como unión de intervalos.
6. Resuelve el sistema no lineal: x − y = 1 x·y = 6
7. Resuelve: x² + y² = 25 x − y = 1
8. Halla dos números cuya suma sea 10 y la suma de sus cuadrados sea 52.
9. Resuelve la inecuación: (x−1)/(x+3) ≥ 0
10. El producto de dos números consecutivos es 132. Plantea la ecuación y encuentra los números.
📋 Resumen de la lección
Ecuaciones bicuadradas: cambio t = x², resolver en t y volver a x (solo t ≥ 0).
Ecuaciones con radicales: aislar, elevar al cuadrado y SIEMPRE comprobar.
Inecuaciones: al multiplicar/dividir por negativo, se invierte la desigualdad.
Inecuaciones de 2.º grado: hallar raíces y estudiar el signo en cada intervalo.
Sistemas no lineales: generalmente se resuelven por sustitución.
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