Al mover una figura por el plano sin deformarla, su tamaño y su forma no cambian: solo cambian su posición o su orientación. Estas transformaciones se llaman movimientos o isometrías, y en esta lección estudiarás las tres principales: traslaciones, giros y simetrías.
Un movimiento o isometría es una transformación del plano que conserva las distancias y los ángulos. Por eso la figura que se obtiene (la imagen) es igual a la original.
Traslación. Desplaza todos los puntos la misma distancia, en la misma dirección y sentido, según un vector v = (a, b). Cada punto P(x, y) se transforma en P'(x + a, y + b). La figura no gira ni se da la vuelta.
Giro. Hace rotar todos los puntos un ángulo alrededor de un punto fijo llamado centro de giro. Por convenio, el giro es positivo si va en sentido contrario a las agujas del reloj. Con centro en el origen O(0, 0):
Simetría axial. Cada punto se transforma en otro situado a la misma distancia de una recta llamada eje de simetría, al otro lado de ella. El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje.
La simetría axial invierte la orientación de la figura, como un espejo.
Simetría central. Cada punto se transforma en otro tal que el centro de simetría es el punto medio del segmento que los une. Respecto al origen: P(x, y) → P'(−x, −y). Fíjate en que equivale a un giro de 180° con el mismo centro.
Para describir un giro hacen falta tres datos: el centro, el ángulo y el sentido. Un giro de 360° deja cada punto en su sitio.
Los movimientos se pueden componer: aplicar uno y, a la imagen obtenida, aplicar otro. Las figuras con eje de simetría o centro de simetría aparecen en mosaicos, logotipos, la arquitectura y la naturaleza.
Ejemplo 1. Aplica al triángulo A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3) la traslación de vector v = (2, −3).
Sumamos el vector a cada vértice: A'(1 + 2, 1 − 3) = A'(3, −2); B'(4 + 2, 1 − 3) = B'(6, −2); C'(1 + 2, 3 − 3) = C'(3, 0).
Ejemplo 2. Gira el punto P(2, 5) 90° alrededor del origen y halla después el simétrico de la imagen respecto al eje X.
Giro de 90°: P(2, 5) → P'(−5, 2). Simetría respecto al eje X: P'(−5, 2) → P''(−5, −2).
Aplica al punto P(3, 1) un giro de 90° en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj) con centro en el origen. ¿Cuál es su imagen?
¿Cuál es el simétrico del punto Q(−4, 2) respecto al eje Y?
Un movimiento o isometría es una transformación que conserva las distancias y los ángulos.
Desplaza todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección, definida por un vector v(a, b).
Si P(x, y) -> P'(x+a, y+b)
Gira todos los puntos un ángulo dado alrededor de un centro fijo. Un giro de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj con centro en el origen: P(x,y) -> P'(-y, x).
Cada punto se transforma en su simétrico respecto a un eje.
Cada punto se transforma en su simétrico respecto a un punto fijo. Respecto al origen: P(x,y) -> P'(-x, -y).
Repasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Traslaciones, giros y simetrías.
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