Homotecias y frisos

Introducción

Las fotocopias ampliadas, los mapas a escala o las sombras proyectadas por una linterna son ejemplos de homotecias: transformaciones que cambian el tamaño de una figura sin cambiar su forma. Los frisos, en cambio, son las cenefas decorativas que vemos en azulejos, telas o fachadas: un mismo motivo que se repite a lo largo de una franja. En esta lección aprenderás a construir ambos y a calcular sus elementos.

Explicación

Una homotecia queda definida por un punto fijo O, llamado centro, y un número real k distinto de 0, llamado razón. A cada punto P le corresponde un punto P' que cumple:

• O, P y P' están alineados.
• La distancia OP' es |k| veces la distancia OP.
• Si k > 0, P' está en la misma semirrecta que P; si k < 0, P' está al otro lado del centro.

Según el valor de la razón:

• Si |k| > 1, la figura se amplía.
• Si |k| < 1, la figura se reduce.
• Si k = 1, cada punto queda donde estaba; si k = −1, la homotecia es una simetría central de centro O.

Homotecia en coordenadas. Si el centro es el origen O(0, 0), basta multiplicar las coordenadas por k: P(x, y) se transforma en P'(k·x, k·y). Si el centro es otro punto O(a, b), se multiplica por k el vector que va del centro al punto: P' = (a + k·(x − a), b + k·(y − b)).

Propiedades. Una homotecia transforma rectas en rectas paralelas y conserva los ángulos, así que la figura imagen es semejante a la original. Todas las longitudes quedan multiplicadas por |k| y todas las áreas por k². Por eso la homotecia no es un movimiento (isometría): cambia las medidas.

Un friso es una figura que se obtiene repitiendo un motivo a lo largo de una franja mediante una traslación de vector fijo v. Además de la traslación, el motivo puede combinarse con otros movimientos: simetrías de eje horizontal o vertical, giros de 180° o simetrías con deslizamiento. Combinando estas posibilidades solo se obtienen 7 tipos de frisos distintos. Cuando el motivo se repite en dos direcciones y cubre todo el plano sin huecos ni solapamientos, se obtiene un mosaico.

Ejemplo

Ejemplo 1. Aplica la homotecia de centro O(0, 0) y razón k = 2 al triángulo A(1, 2), B(3, 1), C(2, 4).

• A' = (2·1, 2·2) = (2, 4)
• B' = (2·3, 2·1) = (6, 2)
• C' = (2·2, 2·4) = (4, 8)

Los lados del triángulo A'B'C' miden el doble que los de ABC y su área es 2² = 4 veces mayor.

Ejemplo 2. Halla la imagen de P(2, 3) mediante la homotecia de centro O(1, 1) y razón k = 3.

Vector de O a P: (2 − 1, 3 − 1) = (1, 2). Lo multiplicamos por 3: (3, 6). Se lo sumamos al centro: P' = (1 + 3, 1 + 6) = (4, 7).

Ejemplo 3. Para construir un friso con una letra L, la dibujamos y la trasladamos una y otra vez con el vector v = (3, 0): obtenemos L L L L… a lo largo de una franja horizontal.

Ejercicios