Conos y esferas

Introducción

El cucurucho de un helado, un embudo o un balón son objetos con forma de cono o de esfera. Son cuerpos de revolución: se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. En esta lección aprenderás sus elementos y a calcular su área y su volumen.

Explicación

El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Sus elementos son:

• Radio (r) de la base, que es un círculo.
• Altura (h): distancia del vértice a la base.
• Generatriz (g): segmento que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base. Por el teorema de Pitágoras: g = √(r² + h²).

Fórmulas del cono:

• Área lateral: A_L = π · r · g
• Área total: A_T = π · r · g + π · r²
• Volumen: V = (1/3) · π · r² · h, es decir, la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura.

La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia, el radio (r), de un punto interior llamado centro.

• Área: A = 4 · π · r²
• Volumen: V = (4/3) · π · r³

Recuerda que las áreas se expresan en unidades cuadradas (cm²) y los volúmenes en unidades cúbicas (cm³).

Ejemplo

Ejemplo 1: Un cono tiene radio 5 cm y altura 12 cm. Calcula su generatriz, su área total y su volumen.

g = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm.

A_T = π · 5 · 13 + π · 5² = 65π + 25π = 90π ≈ 282,74 cm².

V = (1/3) · π · 5² · 12 = 100π ≈ 314,16 cm³.

Ejemplo 2: Calcula el área y el volumen de una esfera de radio 3 cm.

A = 4 · π · 3² = 36π ≈ 113,10 cm². V = (4/3) · π · 3³ = 36π ≈ 113,10 cm³. (Coinciden los números, pero no las unidades.)

Ejercicios