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Proporcionalidad directa e inversa

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Introducción

El concepto de proporcionalidad directa y inversa es fundamental en matemáticas 3º ESO. Esta lección te ayudará a entender cómo estas proporciones se relacionan con las relaciones entre magnitudes, especialmente en el contexto de las proporciones directas y inversas.

Explicación

La proporcionalidad directa es una relación en la que dos magnitudes aumentan o disminuyen juntas, de manera que el cambio en una es el doble del otro. Por ejemplo, si la distancia es proporcional a la velocidad, cuando la velocidad aumenta, la distancia también aumenta. La proporcionalidad inversa, por otro lado, es una relación en la que dos magnitudes se multiplican o se dividen en proporción, lo que puede afectar el cambio en una magnitud de acuerdo con el cambio en la otra.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de proporcionalidad directa. Supongamos que la distancia que recorre un automóvil en un tiempo determinado es proporcional a la velocidad de conducción. Si la velocidad aumenta, la distancia también aumenta. Por ejemplo, si la velocidad es de 60 km/h, la distancia recorrida en 1 hora será 60 km. Si la velocidad aumenta a 80 km/h, la distancia recorrida en la misma cantidad de tiempo será 80 km, y así sucesivamente.

Ejercicios

Si 3 kg de manzanas cuestan 6 €, ¿cuánto cuestan 5 kg (proporcionalidad directa)?

4 obreros tardan 6 días en hacer un trabajo. ¿Cuántos días tardarán 8 obreros (proporcionalidad inversa)?

Material adicional

Teorema de Pitágoras y geometría plana

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes de toda la matemática. Relaciona los lados de un triángulo rectángulo y tiene aplicaciones en geometría, física, ingeniería y la vida cotidiana.

Enunciado del teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

c² = a² + b²

donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.

📘 Ejemplo resuelto

Calcular la hipotenusa de un triángulo con catetos 3 y 4:
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5

Calcular un cateto conociendo la hipotenusa (13) y el otro cateto (5):
a² = c² − b² = 169 − 25 = 144 → a = √144 = 12

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica es un conjunto de tres números naturales (a, b, c) tales que a² + b² = c². Las más conocidas son:

Cateto a	Cateto b	Hipotenusa c
3	4	5
5	12	13
8	15	17
7	24	25
20	21	29

Si (a, b, c) es una terna pitagórica, entonces (ka, kb, kc) también lo es para cualquier k natural.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Diagonal de un rectángulo:

d = √(a² + b²)

📘 Ejemplo resuelto

Una pantalla de televisión mide 80 cm de ancho y 60 cm de alto. ¿Cuánto mide su diagonal?
d = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 cm
La diagonal mide 100 cm, que equivale a 100/2,54 ≈ 39,4 pulgadas.

Altura de un triángulo equilátero de lado a:

h = (a√3) / 2

📘 Ejemplo resuelto

Triángulo equilátero de lado 10 cm:
h = (10 × √3)/2 = 5√3 ≈ 8,66 cm
Área = (base × altura)/2 = (10 × 5√3)/2 = 25√3 ≈ 43,3 cm²

Diagonal de un cuadrado de lado a:

d = a√2

Distancia entre dos puntos en el plano

Usando Pitágoras, la distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es:

d(A,B) = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

📘 Ejemplo resuelto

Distancia entre A(1, 3) y B(5, 6):
d = √((5−1)² + (6−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Punto medio de un segmento

M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

📘 Ejemplo resuelto

Punto medio de A(2, 8) y B(6, 4):
M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6)

Áreas de figuras planas

Figura	Fórmula del área
Triángulo	A = (b × h) / 2
Cuadrado	A = a²
Rectángulo	A = b × h
Paralelogramo	A = b × h
Trapecio	A = ((B + b) × h) / 2
Rombo	A = (D × d) / 2
Círculo	A = π r²
Sector circular	A = (α/360) × π r²

✏️ Ejercicios

1. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula la hipotenusa y el área.

2. Una escalera de 5 m se apoya en una pared. Si el pie de la escalera está a 3 m de la pared, ¿a qué altura llega?

3. Calcula la diagonal de un rectángulo de 12 cm × 16 cm.

4. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

5. Calcula la distancia entre los puntos: a) A(3, 1) y B(7, 4) b) C(−2, 5) y D(4, −3)

6. Comprueba si un triángulo con lados 9, 12 y 15 es rectángulo.

7. Un campo tiene forma de trapecio con bases de 50 m y 30 m, y altura de 20 m. Calcula su área en m² y en hectáreas.

8. Un poste de 12 m de altura se sujeta con un cable que va desde la punta hasta un punto del suelo a 5 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se necesitan?

9. Los vértices de un triángulo son A(0, 0), B(6, 0) y C(3, 4). Calcula el perímetro del triángulo.

10. La diagonal de un cuadrado mide 10√2 cm. ¿Cuánto mide el lado y cuál es el área del cuadrado?

🎯 Aplicación práctica

Pitágoras en tu entorno:
1. Mide el largo y ancho de la pantalla de tu móvil o tablet. Calcula la diagonal con Pitágoras y compruébala midiendo directamente.
2. Si tu habitación mide 4 m × 3 m, ¿cuánto mide la diagonal del suelo?
3. Investiga: ¿cómo usaban los antiguos egipcios una cuerda con 12 nudos equidistantes para construir ángulos rectos?

🤔 ¿Sabías que...?

El teorema de Pitágoras se conocía empíricamente en Babilonia y Egipto más de 1.000 años antes de Pitágoras. Sin embargo, fue la escuela pitagórica (siglo VI a. C.) la que ofreció la primera demostración matemática. Existen más de 400 demostraciones diferentes del teorema, incluyendo una del presidente estadounidense James Garfield (1876).

📋 Resumen de la lección

Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, c² = a² + b².
La diagonal del rectángulo es d = √(a² + b²); la del cuadrado es d = a√2.
Distancia entre dos puntos: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
La altura de un triángulo equilátero de lado a es h = a√3/2.
Conocer las fórmulas de áreas de las figuras planas básicas es esencial.

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