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Introducción
Muchas situaciones cotidianas relacionan dos magnitudes: el precio y la cantidad de fruta que compramos, o el número de trabajadores y los días que tardan en terminar una obra. En esta lección aprenderás a reconocer cuándo dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales y a resolver problemas con ellas.
Explicación
Proporcionalidad directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. En ese caso el cociente entre los valores correspondientes es siempre el mismo:
y / x = k, donde k es la constante de proporcionalidad directa.
Ejemplo: si 1 kg de naranjas cuesta 2 €, 3 kg cuestan 6 € y 5 kg cuestan 10 €. El cociente precio/kilos vale siempre 2.
Proporcionalidad inversa. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. En ese caso el producto de los valores correspondientes es siempre el mismo:
x · y = k, donde k es la constante de proporcionalidad inversa.
Ejemplo: si 2 pintores tardan 12 días en pintar un edificio, 4 pintores (el doble) tardan 6 días (la mitad), y 6 pintores tardan 4 días. El producto pintores · días vale siempre 24.
Atención: que dos magnitudes aumenten a la vez no basta para que sean directamente proporcionales. La edad y la altura de una persona crecen juntas, pero no en la misma proporción. Hay que comprobar que el cociente (o el producto) es constante.
Cómo distinguirlas. Pregúntate: «si una magnitud se duplica, ¿qué le pasa a la otra?». Si también se duplica, la proporcionalidad es directa; si se reduce a la mitad, es inversa. En una tabla de valores directamente proporcionales, todos los cocientes coinciden; en una de valores inversamente proporcionales, todos los productos coinciden.
Regla de tres. Es el método práctico para hallar un valor desconocido. Se colocan los datos en dos filas, se decide si la proporcionalidad es directa o inversa y se plantea la igualdad correspondiente:
Directa: a → b, c → x; entonces x = (b · c) / a.
Inversa: a → b, c → x; entonces x = (a · b) / c.
Ejemplo
Ejemplo 1 (directa). Una impresora imprime 45 páginas en 3 minutos. ¿Cuántas imprime en 8 minutos?
A más minutos, más páginas, en la misma proporción: es directa. 3 min → 45 páginas; 8 min → x. x = (45 · 8) / 3 = 360 / 3 = 120 páginas.
Ejemplo 2 (inversa). Un depósito se vacía en 20 horas con 3 desagües iguales abiertos. ¿Cuánto tardará con 5 desagües?
A más desagües, menos tiempo, en proporción inversa. 3 desagües → 20 h; 5 desagües → x. x = (3 · 20) / 5 = 60 / 5 = 12 horas.
Ejercicios
Con 6 grifos iguales abiertos, un depósito se llena en 10 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse con 4 de esos grifos?
Un coche gasta 6 litros de gasolina cada 100 km. ¿Cuántos litros gastará en un viaje de 350 km, si el consumo es proporcional a la distancia?
Material adicional
Teorema de Pitágoras y geometría plana
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes de toda la matemática. Relaciona los lados de un triángulo rectángulo y tiene aplicaciones en geometría, física, ingeniería y la vida cotidiana.
Enunciado del teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
c² = a² + b²
donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.
📘 Ejemplo resuelto
Calcular la hipotenusa de un triángulo con catetos 3 y 4: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = √25 = 5
Calcular un cateto conociendo la hipotenusa (13) y el otro cateto (5): a² = c² − b² = 169 − 25 = 144 → a = √144 = 12
Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números naturales (a, b, c) tales que a² + b² = c². Las más conocidas son:
Cateto a
Cateto b
Hipotenusa c
3
4
5
5
12
13
8
15
17
7
24
25
20
21
29
Si (a, b, c) es una terna pitagórica, entonces (ka, kb, kc) también lo es para cualquier k natural.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Diagonal de un rectángulo:
d = √(a² + b²)
📘 Ejemplo resuelto
Una pantalla de televisión mide 80 cm de ancho y 60 cm de alto. ¿Cuánto mide su diagonal? d = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000 = 100 cm La diagonal mide 100 cm, que equivale a 100/2,54 ≈ 39,4 pulgadas.
Altura de un triángulo equilátero de lado a:
h = (a√3) / 2
📘 Ejemplo resuelto
Triángulo equilátero de lado 10 cm: h = (10 × √3)/2 = 5√3 ≈ 8,66 cm Área = (base × altura)/2 = (10 × 5√3)/2 = 25√3 ≈ 43,3 cm²
Diagonal de un cuadrado de lado a:
d = a√2
Distancia entre dos puntos en el plano
Usando Pitágoras, la distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es:
d(A,B) = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
📘 Ejemplo resuelto
Distancia entre A(1, 3) y B(5, 6): d = √((5−1)² + (6−3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Punto medio de un segmento
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
📘 Ejemplo resuelto
Punto medio de A(2, 8) y B(6, 4): M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6)
Áreas de figuras planas
Figura
Fórmula del área
Triángulo
A = (b × h) / 2
Cuadrado
A = a²
Rectángulo
A = b × h
Paralelogramo
A = b × h
Trapecio
A = ((B + b) × h) / 2
Rombo
A = (D × d) / 2
Círculo
A = π r²
Sector circular
A = (α/360) × π r²
✏️ Ejercicios
1. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula la hipotenusa y el área.
2. Una escalera de 5 m se apoya en una pared. Si el pie de la escalera está a 3 m de la pared, ¿a qué altura llega?
3. Calcula la diagonal de un rectángulo de 12 cm × 16 cm.
4. Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de lado 8 cm.
5. Calcula la distancia entre los puntos: a) A(3, 1) y B(7, 4) b) C(−2, 5) y D(4, −3)
6. Comprueba si un triángulo con lados 9, 12 y 15 es rectángulo.
7. Un campo tiene forma de trapecio con bases de 50 m y 30 m, y altura de 20 m. Calcula su área en m² y en hectáreas.
8. Un poste de 12 m de altura se sujeta con un cable que va desde la punta hasta un punto del suelo a 5 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se necesitan?
9. Los vértices de un triángulo son A(0, 0), B(6, 0) y C(3, 4). Calcula el perímetro del triángulo.
10. La diagonal de un cuadrado mide 10√2 cm. ¿Cuánto mide el lado y cuál es el área del cuadrado?
🎯 Aplicación práctica
Pitágoras en tu entorno: 1. Mide el largo y ancho de la pantalla de tu móvil o tablet. Calcula la diagonal con Pitágoras y compruébala midiendo directamente. 2. Si tu habitación mide 4 m × 3 m, ¿cuánto mide la diagonal del suelo? 3. Investiga: ¿cómo usaban los antiguos egipcios una cuerda con 12 nudos equidistantes para construir ángulos rectos?
🤔 ¿Sabías que...?
El teorema de Pitágoras se conocía empíricamente en Babilonia y Egipto más de 1.000 años antes de Pitágoras. Sin embargo, fue la escuela pitagórica (siglo VI a. C.) la que ofreció la primera demostración matemática. Existen más de 400 demostraciones diferentes del teorema, incluyendo una del presidente estadounidense James Garfield (1876).
📋 Resumen de la lección
Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, c² = a² + b².
La diagonal del rectángulo es d = √(a² + b²); la del cuadrado es d = a√2.
Distancia entre dos puntos: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).
La altura de un triángulo equilátero de lado a es h = a√3/2.
Conocer las fórmulas de áreas de las figuras planas básicas es esencial.
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