Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios términos, llamados monomios. Los polinomios son una herramienta esencial del álgebra y aparecen en multitud de aplicaciones científicas y tecnológicas.
Monomios
Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o varias variables elevadas a exponentes naturales:
Monomio: a · xⁿ (a ∈ ℝ, n ∈ ℕ)
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El coeficiente es el número que multiplica a la parte literal.
📘 Ejemplo resuelto5x³ → coeficiente: 5, grado: 3
−2x²y → coeficiente: −2, grado: 2 + 1 = 3
7 → coeficiente: 7, grado: 0 (es un monomio constante)
Definición de polinomio
Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
donde aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ son los coeficientes (números reales) y n es el grado del polinomio (el mayor exponente con coeficiente no nulo).
📘 Ejemplo resueltoP(x) = 3x⁴ − 2x² + x − 5
• Grado: 4
• Coeficiente principal: 3
• Término independiente: −5
• Coeficientes: a₄ = 3, a₃ = 0, a₂ = −2, a₁ = 1, a₀ = −5
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de P(x) para x = a se calcula sustituyendo x por a:
📘 Ejemplo resueltoSi P(x) = 2x³ − 3x + 1, calcular P(2):
P(2) = 2 · (2)³ − 3 · (2) + 1 = 2 · 8 − 6 + 1 = 16 − 6 + 1 = 11
Operaciones con polinomios
Suma y resta: se agrupan los términos del mismo grado (términos semejantes) y se suman o restan sus coeficientes.
📘 Ejemplo resueltoP(x) = 3x³ − 2x + 5 Q(x) = x³ + 4x² − x − 3
P(x) + Q(x) = (3+1)x³ + 4x² + (−2−1)x + (5−3) = 4x³ + 4x² − 3x + 2
P(x) − Q(x) = (3−1)x³ − 4x² + (−2+1)x + (5+3) = 2x³ − 4x² − x + 8
Multiplicación: se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del segundo.
📘 Ejemplo resuelto(2x − 3)(x² + x − 4) =
= 2x · x² + 2x · x + 2x · (−4) + (−3) · x² + (−3) · x + (−3) · (−4)
= 2x³ + 2x² − 8x − 3x² − 3x + 12
= 2x³ − x² − 11x + 12
Identidades notables
Las identidades notables (o productos notables) son igualdades algebraicas que se verifican siempre. Es fundamental memorizarlas:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
📘 Ejemplo resuelto(3x + 2)² = (3x)² + 2 · (3x) · 2 + 2² = 9x² + 12x + 4
(5x − 1)² = 25x² − 10x + 1
(2x + 7)(2x − 7) = (2x)² − 7² = 4x² − 49
División de polinomios
La división de un polinomio D(x) (dividendo) entre otro d(x) (divisor) da como resultado un polinomio cociente C(x) y un polinomio resto R(x):
D(x) = d(x) · C(x) + R(x) con grado R(x) < grado d(x)
📘 Ejemplo resueltoDividir 2x³ + 3x² − 5x + 1 entre x − 2 (por Ruffini):
2 3 −5 1
2 | 4 14 18
──────────────────
2 7 9 19
Cociente: 2x² + 7x + 9 Resto: 19
Teorema del resto y del factor
Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − a) es igual a P(a).
Teorema del factor: (x − a) es divisor exacto de P(x) si y solo si P(a) = 0. En ese caso, a es una raíz del polinomio.
📘 Ejemplo resueltoP(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 → x = 1 es raíz → (x − 1) es factor de P(x)
P(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0 → x = 2 es raíz → (x − 2) es factor de P(x)
P(3) = 27 − 54 + 33 − 6 = 0 → x = 3 es raíz → (x − 3) es factor de P(x)
Factorización: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios de menor grado. Técnicas principales:
1. Factor común: sacar el monomio que divide a todos los términos.
2. Identidades notables: reconocer a² − b², a² ± 2ab + b².
3. Ruffini + teorema del factor: buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente.
📘 Ejemplo resueltoFactorizar 2x³ − 6x² + 4x:
1. Factor común: 2x(x² − 3x + 2)
2. Buscamos raíces de x² − 3x + 2: P(1) = 1 − 3 + 2 = 0 ✓ P(2) = 4 − 6 + 2 = 0 ✓
3. Resultado: 2x(x − 1)(x − 2)
✏️ Ejercicios1. Dados P(x) = 4x³ − x² + 2x − 7 y Q(x) = −x³ + 3x² − 5, calcula P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).
2. Calcula (3x − 2)(2x² + x − 5) desarrollando todos los términos.
3. Desarrolla usando identidades notables: a) (2x + 5)² b) (3x − 4)² c) (x + 6)(x − 6)
4. Divide por Ruffini: (x⁴ − 3x³ + 2x − 5) ÷ (x − 1). Indica cociente y resto.
5. Halla el valor de k para que el polinomio P(x) = x³ + kx² − 4x + 6 sea divisible por (x − 1).
6. Factoriza completamente: a) x³ − 7x + 6 b) 2x⁴ − 8x² c) x⁴ − 16
7. Calcula el valor numérico de P(x) = x⁴ − 2x³ + 3x − 1 para x = −1.
8. Simplifica la fracción algebraica: (x² − 9) / (x² + 5x + 6)
9. Halla las raíces del polinomio P(x) = x³ − 4x² + x + 6.
10. El área de un rectángulo viene dada por A(x) = 6x² + 7x − 3. Si un lado mide (2x + 3), ¿cuánto mide el otro?
🎯 Aplicación prácticaPolinomios y geometría:
El volumen de una caja sin tapa se fabrica recortando cuadrados de lado x cm en las esquinas de un cartón rectangular de 20 cm × 30 cm.
1. Escribe el polinomio V(x) que da el volumen.
2. Calcula V(3) y V(5). ¿Cuál da más volumen?
3. ¿Para qué valores de x tiene sentido el problema?
📋 Resumen de la lección- Un polinomio es la suma de monomios. Su grado es el mayor exponente.
- Identidades notables: (a±b)² = a² ± 2ab + b² y (a+b)(a−b) = a² − b².
- La regla de Ruffini permite dividir polinomios entre (x − a) de forma rápida.
- Teorema del resto: el resto de P(x)÷(x−a) es P(a). Si P(a)=0, entonces (x−a) es factor.
- Factorizar = escribir un polinomio como producto de factores irreducibles.