Temario gratis › Matemáticas 3.º ESO

Propiedades de las potencias

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Introducción

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Conocer sus propiedades permite simplificar expresiones largas en pocos pasos, sin necesidad de calcular números enormes.

Explicación

En la potencia an, el número a es la base (el factor que se repite) y n es el exponente (cuántas veces se repite). Por ejemplo, 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Si a y b son números distintos de cero y m y n son números enteros, se cumplen estas propiedades:

Cuidado con el signo. Una base negativa elevada a un exponente par da un resultado positivo, y elevada a un exponente impar da un resultado negativo: (−3)2 = 9, pero (−3)3 = −27. Además, no es lo mismo (−3)2 = 9 que −32 = −9, porque en este último caso el exponente solo afecta al 3.

Errores frecuentes: las propiedades del producto y del cociente solo sirven si las bases son iguales (23 · 52 no se puede reunir en una sola potencia). Y no existe ninguna propiedad para la suma: 23 + 22 = 8 + 4 = 12, que no es 25 = 32.

Ejemplo

Ejemplo 1. Simplifica 54 · 53 : 55.

Producto de igual base: 54 · 53 = 57. Cociente de igual base: 57 : 55 = 52 = 25.

Ejemplo 2. Simplifica (32)3 · 3−4.

Potencia de una potencia: (32)3 = 36. Producto de igual base: 36 · 3−4 = 36+(−4) = 32 = 9.

Ejercicios

Simplifica (2³)² · 2⁻⁴ y calcula el resultado.

Calcula (−3)⁴ : (−3)⁶.

Material adicional

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de varios términos, llamados monomios. Los polinomios son una herramienta esencial del álgebra y aparecen en multitud de aplicaciones científicas y tecnológicas.

Monomios

Un monomio es el producto de un número (coeficiente) por una o varias variables elevadas a exponentes naturales:

Monomio: a · xⁿ   (a ∈ ℝ, n ∈ ℕ)

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El coeficiente es el número que multiplica a la parte literal.

📘 Ejemplo resuelto
5x³ → coeficiente: 5, grado: 3
−2x²y → coeficiente: −2, grado: 2 + 1 = 3
7 → coeficiente: 7, grado: 0 (es un monomio constante)

Definición de polinomio

Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

donde aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ son los coeficientes (números reales) y n es el grado del polinomio (el mayor exponente con coeficiente no nulo).

📘 Ejemplo resuelto
P(x) = 3x⁴ − 2x² + x − 5
• Grado: 4
• Coeficiente principal: 3
• Término independiente: −5
• Coeficientes: a₄ = 3, a₃ = 0, a₂ = −2, a₁ = 1, a₀ = −5

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de P(x) para x = a se calcula sustituyendo x por a:

📘 Ejemplo resuelto
Si P(x) = 2x³ − 3x + 1, calcular P(2):
P(2) = 2 · (2)³ − 3 · (2) + 1 = 2 · 8 − 6 + 1 = 16 − 6 + 1 = 11

Operaciones con polinomios

Suma y resta: se agrupan los términos del mismo grado (términos semejantes) y se suman o restan sus coeficientes.

📘 Ejemplo resuelto
P(x) = 3x³ − 2x + 5    Q(x) = x³ + 4x² − x − 3

P(x) + Q(x) = (3+1)x³ + 4x² + (−2−1)x + (5−3) = 4x³ + 4x² − 3x + 2

P(x) − Q(x) = (3−1)x³ − 4x² + (−2+1)x + (5+3) = 2x³ − 4x² − x + 8

Multiplicación: se aplica la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primer polinomio por todos los del segundo.

📘 Ejemplo resuelto
(2x − 3)(x² + x − 4) =
= 2x · x² + 2x · x + 2x · (−4) + (−3) · x² + (−3) · x + (−3) · (−4)
= 2x³ + 2x² − 8x − 3x² − 3x + 12
= 2x³ − x² − 11x + 12

Identidades notables

Las identidades notables (o productos notables) son igualdades algebraicas que se verifican siempre. Es fundamental memorizarlas:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
📘 Ejemplo resuelto
(3x + 2)² = (3x)² + 2 · (3x) · 2 + 2² = 9x² + 12x + 4

(5x − 1)² = 25x² − 10x + 1

(2x + 7)(2x − 7) = (2x)² − 7² = 4x² − 49

División de polinomios

La división de un polinomio D(x) (dividendo) entre otro d(x) (divisor) da como resultado un polinomio cociente C(x) y un polinomio resto R(x):

D(x) = d(x) · C(x) + R(x)   con grado R(x) < grado d(x)
📘 Ejemplo resuelto
Dividir 2x³ + 3x² − 5x + 1 entre x − 2 (por Ruffini):

   2   3   −5   1
2 |      4    14   18
   ──────────────────
   2   7    9   19

Cociente: 2x² + 7x + 9    Resto: 19

Teorema del resto y del factor

Teorema del resto: el resto de dividir P(x) entre (x − a) es igual a P(a).

Teorema del factor: (x − a) es divisor exacto de P(x) si y solo si P(a) = 0. En ese caso, a es una raíz del polinomio.

📘 Ejemplo resuelto
P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6
P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 → x = 1 es raíz → (x − 1) es factor de P(x)
P(2) = 8 − 24 + 22 − 6 = 0 → x = 2 es raíz → (x − 2) es factor de P(x)
P(3) = 27 − 54 + 33 − 6 = 0 → x = 3 es raíz → (x − 3) es factor de P(x)

Factorización: P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios de menor grado. Técnicas principales:

1. Factor común: sacar el monomio que divide a todos los términos.

2. Identidades notables: reconocer a² − b², a² ± 2ab + b².

3. Ruffini + teorema del factor: buscar raíces enteras entre los divisores del término independiente.

📘 Ejemplo resuelto
Factorizar 2x³ − 6x² + 4x:
1. Factor común: 2x(x² − 3x + 2)
2. Buscamos raíces de x² − 3x + 2: P(1) = 1 − 3 + 2 = 0 ✓   P(2) = 4 − 6 + 2 = 0 ✓
3. Resultado: 2x(x − 1)(x − 2)
✏️ Ejercicios
1. Dados P(x) = 4x³ − x² + 2x − 7 y Q(x) = −x³ + 3x² − 5, calcula P(x) + Q(x) y P(x) − Q(x).

2. Calcula (3x − 2)(2x² + x − 5) desarrollando todos los términos.

3. Desarrolla usando identidades notables: a) (2x + 5)²   b) (3x − 4)²   c) (x + 6)(x − 6)

4. Divide por Ruffini: (x⁴ − 3x³ + 2x − 5) ÷ (x − 1). Indica cociente y resto.

5. Halla el valor de k para que el polinomio P(x) = x³ + kx² − 4x + 6 sea divisible por (x − 1).

6. Factoriza completamente: a) x³ − 7x + 6   b) 2x⁴ − 8x²   c) x⁴ − 16

7. Calcula el valor numérico de P(x) = x⁴ − 2x³ + 3x − 1 para x = −1.

8. Simplifica la fracción algebraica: (x² − 9) / (x² + 5x + 6)

9. Halla las raíces del polinomio P(x) = x³ − 4x² + x + 6.

10. El área de un rectángulo viene dada por A(x) = 6x² + 7x − 3. Si un lado mide (2x + 3), ¿cuánto mide el otro?
🎯 Aplicación práctica
Polinomios y geometría:
El volumen de una caja sin tapa se fabrica recortando cuadrados de lado x cm en las esquinas de un cartón rectangular de 20 cm × 30 cm.
1. Escribe el polinomio V(x) que da el volumen.
2. Calcula V(3) y V(5). ¿Cuál da más volumen?
3. ¿Para qué valores de x tiene sentido el problema?
📋 Resumen de la lección
  • Un polinomio es la suma de monomios. Su grado es el mayor exponente.
  • Identidades notables: (a±b)² = a² ± 2ab + b² y (a+b)(a−b) = a² − b².
  • La regla de Ruffini permite dividir polinomios entre (x − a) de forma rápida.
  • Teorema del resto: el resto de P(x)÷(x−a) es P(a). Si P(a)=0, entonces (x−a) es factor.
  • Factorizar = escribir un polinomio como producto de factores irreducibles.
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