Potencias y raíces
Las potencias y las raíces son operaciones fundamentales en matemáticas. En este tema repasaremos sus propiedades, aprenderemos a operar con exponentes enteros y fraccionarios, y resolveremos problemas de aplicación.
Potencias de exponente natural
La potencia aⁿ indica que se multiplica la base a por sí misma n veces:
aⁿ = a × a × a × ... × a (n veces)
Por convenio: a¹ = a y a⁰ = 1 (para a ≠ 0).
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|
| Producto de potencias (misma base) | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente de potencias (misma base) | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5² = 5⁴ = 625 |
| Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potencia de un producto | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000 |
| Potencia de un cociente | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (3/4)² = 9/16 |
Potencias de exponente entero negativo
Cuando el exponente es negativo, la potencia se convierte en el inverso de la potencia con exponente positivo:
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)
📘 Ejemplo resuelto2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125
(3/5)⁻² = (5/3)² = 25/9
10⁻⁴ = 1/10⁴ = 0,0001
Raíces como potencias fraccionarias
La raíz n-ésima de un número se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario:
ⁿ√a = a^(1/n)
Combinando raíces y potencias:
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
📘 Ejemplo resuelto√16 = 16^(1/2) = 4
³√27 = 27^(1/3) = 3
⁴√81 = 81^(1/4) = 3 (porque 3⁴ = 81)
√(5³) = 5^(3/2) = 5 · √5 ≈ 11,18
Propiedades de las raíces
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|
| Raíz de un producto | ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b | √(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6 |
| Raíz de un cociente | ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b | √(25/16) = 5/4 |
| Raíz de una raíz | ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ·ⁿ√a | √(³√64) = ⁶√64 = 2 |
Simplificación de radicales
Para simplificar una raíz cuadrada, descomponemos el radicando en factores primos:
📘 Ejemplo resueltoSimplificar √72:
72 = 2³ × 3² = 2² × 2 × 3²
√72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2
Simplificar √200:
200 = 2³ × 5² = 2² × 2 × 5²
√200 = √(2² × 5² × 2) = 2 × 5 × √2 = 10√2
Racionalización de denominadores
Racionalizar consiste en eliminar la raíz del denominador de una fracción:
📘 Ejemplo resueltoCaso 1: denominador con una raíz
3/√5 = (3 × √5) / (√5 × √5) = 3√5 / 5
Caso 2: denominador con suma o diferencia de raíces (multiplicar por conjugado)
1/(√3 + 1) = (√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)) = (√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1)/2
📌 RecuerdaLas propiedades de las potencias solo se aplican cuando las bases son iguales (para producto y cociente de potencias) o cuando los exponentes son iguales (para producto y cociente con el mismo exponente).
Cuidado: (a + b)² ≠ a² + b². Por ejemplo (2 + 3)² = 25 ≠ 4 + 9 = 13.
✏️ Ejercicios1. Simplifica usando propiedades de potencias: a) 3⁴ · 3⁻² b) (2⁵)³ / 2¹⁰ c) (5² · 5⁻¹)⁴
2. Expresa como una sola potencia: a) 2³ · 4² · 8 b) 9³ / 27² c) √(2⁶)
3. Calcula: a) 16^(3/4) b) 27^(2/3) c) 8^(−2/3)
4. Simplifica los radicales: a) √50 b) √128 c) ³√54 d) √(48/75)
5. Racionaliza: a) 6/√3 b) 2/(√7 − √5) c) 5/(1 + √2)
6. Ordena de menor a mayor sin calculadora: √2, ³√5, ⁶√8
7. Demuestra que √2 · √8 = 4 usando propiedades de radicales.
8. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 500 bacterias, ¿cuántas habrá en 10 horas? Expresa el resultado en notación científica.
9. Simplifica: (2√3 + √12)²
10. Calcula el valor exacto de: √(√81) + ³√(√64)
🎯 Aplicación prácticaPotencias en la vida real: el papel doblado
Cada vez que doblas una hoja de papel por la mitad, su grosor se multiplica por 2. Si una hoja tiene 0,1 mm de grosor:
1. ¿Cuánto mide de grosor tras 10 dobleces? (0,1 × 2¹⁰)
2. ¿Y tras 42 dobleces? Compara con la distancia Tierra-Luna (384.400 km).
3. ¿Por qué es físicamente imposible doblar un papel más de unas 7-8 veces?
🤔 ¿Sabías que...?El ajedrez y las potencias: según la leyenda, el inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente duplicando en cada casilla. En la casilla 64 habría 2⁶³ = 9,22 × 10¹⁸ granos, y el total sería 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,84 × 10¹⁹ granos. ¡Más trigo del que se ha producido en toda la historia de la humanidad!
📋 Resumen de la lección- aⁿ significa multiplicar a por sí mismo n veces. a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- Las propiedades permiten simplificar productos, cocientes y potencias de potencias.
- Las raíces se expresan como potencias fraccionarias: ⁿ√a = a^(1/n).
- Simplificar radicales: descomponer en factores primos y extraer cuadrados perfectos.
- Racionalizar: multiplicar numerador y denominador por la expresión adecuada para eliminar raíces del denominador.