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Introducción
Hasta ahora has trabajado sobre todo con números que se pueden escribir como fracción. Sin embargo, existen números, como √2 o π, que no se pueden escribir así: son los números irracionales. Junto con los racionales forman los números reales, que llenan por completo la recta numérica.
Explicación
Números racionales (ℚ). Son los que se pueden escribir como fracción a/b, con a y b enteros y b ≠ 0. Su expresión decimal es siempre exacta (0,75) o periódica (0,333… = 1/3; 0,1666… = 1/6).
Números irracionales (𝕀). Son los que no se pueden escribir como fracción. Su expresión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten de forma periódica. Algunos ejemplos:
Las raíces cuadradas de números naturales que no son cuadrados perfectos: √2 = 1,41421…, √3 = 1,73205…, √5, √10…
El número π = 3,14159…, que relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro.
El número de oro, φ = (1 + √5)/2 = 1,61803…
Decimales construidos sin periodo, como 0,1010010001…
Cuidado: √49 = 7 es racional, porque 49 es un cuadrado perfecto. Y 22/7 = 3,142857… es una aproximación de π, pero es racional.
Números reales (ℝ). El conjunto de los números reales está formado por los racionales y los irracionales. Se cumple ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, y los irracionales son los reales que no son racionales.
La recta real. A cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta, un número real. Por eso se habla de la recta real: no queda ningún hueco.
Representar raíces con el teorema de Pitágoras. Algunos irracionales se pueden situar exactamente en la recta. Si un triángulo rectángulo tiene catetos 1 y 1, su hipotenusa mide √(1² + 1²) = √2. Se dibuja ese triángulo con un cateto sobre la recta, empezando en el 0, y con el compás, centrado en 0, se traslada la hipotenusa a la recta: el punto obtenido es √2. Del mismo modo, con catetos 2 y 1 se obtiene √5, porque 2² + 1² = 5.
Aproximaciones. Como un irracional tiene infinitas cifras decimales, en los cálculos usamos aproximaciones: por truncamiento (se cortan las cifras sobrantes) o por redondeo (se suma una unidad a la última cifra conservada si la siguiente es 5 o mayor).
Ejemplo
Ejemplo 1. Clasifica los números 0,25; √16; √7; 0,454545…; π.
0,25 = 1/4 es racional (decimal exacto).
√16 = 4 es racional (es incluso natural).
√7 es irracional: 7 no es un cuadrado perfecto.
0,454545… = 5/11 es racional (decimal periódico).
π es irracional.
Ejemplo 2. Aproxima √10 por redondeo a las décimas y a las centésimas.
3² = 9 y 4² = 16, así que √10 está entre 3 y 4.
3,1² = 9,61 y 3,2² = 10,24: √10 está entre 3,1 y 3,2.
3,16² = 9,9856 y 3,17² = 10,0489: √10 está entre 3,16 y 3,17, y más cerca de 3,16.
Como √10 = 3,1622…, su redondeo a las décimas es 3,2 y a las centésimas, 3,16.
Ejercicios
¿Cuál de los siguientes números es irracional?
Para representar √13 en la recta real con un triángulo rectángulo, ¿qué catetos debes usar?
Material adicional
Potencias y raíces
Las potencias y las raíces son operaciones fundamentales en matemáticas. En este tema repasaremos sus propiedades, aprenderemos a operar con exponentes enteros y fraccionarios, y resolveremos problemas de aplicación.
Potencias de exponente natural
La potencia aⁿ indica que se multiplica la base a por sí misma n veces:
aⁿ = a × a × a × ... × a (n veces)
Por convenio: a¹ = a y a⁰ = 1 (para a ≠ 0).
Propiedades de las potencias
Propiedad
Fórmula
Ejemplo
Producto de potencias (misma base)
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Cociente de potencias (misma base)
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
5⁶ / 5² = 5⁴ = 625
Potencia de una potencia
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
(3²)³ = 3⁶ = 729
Potencia de un producto
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
(2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000
Potencia de un cociente
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
(3/4)² = 9/16
Potencias de exponente entero negativo
Cuando el exponente es negativo, la potencia se convierte en el inverso de la potencia con exponente positivo:
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)
📘 Ejemplo resuelto
2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125
(3/5)⁻² = (5/3)² = 25/9
10⁻⁴ = 1/10⁴ = 0,0001
Raíces como potencias fraccionarias
La raíz n-ésima de un número se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario:
ⁿ√a = a^(1/n)
Combinando raíces y potencias:
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
📘 Ejemplo resuelto
√16 = 16^(1/2) = 4
³√27 = 27^(1/3) = 3
⁴√81 = 81^(1/4) = 3 (porque 3⁴ = 81)
√(5³) = 5^(3/2) = 5 · √5 ≈ 11,18
Propiedades de las raíces
Propiedad
Fórmula
Ejemplo
Raíz de un producto
ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b
√(4·9) = √4 · √9 = 2·3 = 6
Raíz de un cociente
ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
√(25/16) = 5/4
Raíz de una raíz
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐ·ⁿ√a
√(³√64) = ⁶√64 = 2
Simplificación de radicales
Para simplificar una raíz cuadrada, descomponemos el radicando en factores primos:
Racionalizar consiste en eliminar la raíz del denominador de una fracción:
📘 Ejemplo resuelto
Caso 1: denominador con una raíz 3/√5 = (3 × √5) / (√5 × √5) = 3√5 / 5
Caso 2: denominador con suma o diferencia de raíces (multiplicar por conjugado) 1/(√3 + 1) = (√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)) = (√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1)/2
📌 Recuerda
Las propiedades de las potencias solo se aplican cuando las bases son iguales (para producto y cociente de potencias) o cuando los exponentes son iguales (para producto y cociente con el mismo exponente).
1. Simplifica usando propiedades de potencias: a) 3⁴ · 3⁻² b) (2⁵)³ / 2¹⁰ c) (5² · 5⁻¹)⁴
2. Expresa como una sola potencia: a) 2³ · 4² · 8 b) 9³ / 27² c) √(2⁶)
3. Calcula: a) 16^(3/4) b) 27^(2/3) c) 8^(−2/3)
4. Simplifica los radicales: a) √50 b) √128 c) ³√54 d) √(48/75)
5. Racionaliza: a) 6/√3 b) 2/(√7 − √5) c) 5/(1 + √2)
6. Ordena de menor a mayor sin calculadora: √2, ³√5, ⁶√8
7. Demuestra que √2 · √8 = 4 usando propiedades de radicales.
8. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay 500 bacterias, ¿cuántas habrá en 10 horas? Expresa el resultado en notación científica.
9. Simplifica: (2√3 + √12)²
10. Calcula el valor exacto de: √(√81) + ³√(√64)
🎯 Aplicación práctica
Potencias en la vida real: el papel doblado Cada vez que doblas una hoja de papel por la mitad, su grosor se multiplica por 2. Si una hoja tiene 0,1 mm de grosor: 1. ¿Cuánto mide de grosor tras 10 dobleces? (0,1 × 2¹⁰) 2. ¿Y tras 42 dobleces? Compara con la distancia Tierra-Luna (384.400 km). 3. ¿Por qué es físicamente imposible doblar un papel más de unas 7-8 veces?
🤔 ¿Sabías que...?
El ajedrez y las potencias: según la leyenda, el inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente duplicando en cada casilla. En la casilla 64 habría 2⁶³ = 9,22 × 10¹⁸ granos, y el total sería 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,84 × 10¹⁹ granos. ¡Más trigo del que se ha producido en toda la historia de la humanidad!
📋 Resumen de la lección
aⁿ significa multiplicar a por sí mismo n veces. a⁰ = 1 y a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Las propiedades permiten simplificar productos, cocientes y potencias de potencias.
Las raíces se expresan como potencias fraccionarias: ⁿ√a = a^(1/n).
Simplificar radicales: descomponer en factores primos y extraer cuadrados perfectos.
Racionalizar: multiplicar numerador y denominador por la expresión adecuada para eliminar raíces del denominador.
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