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Métodos de resolución: sustitución y reducción

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Introducción

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse a la vez. Resolverlo es encontrar los valores de x e y que verifican las dos ecuaciones. En esta lección aprenderás dos métodos algebraicos para hacerlo: sustitución y reducción.

Explicación

Método de sustitución. Es cómodo cuando alguna incógnita tiene coeficiente 1 o −1. Pasos:

1) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2) Se sustituye esa expresión en la otra ecuación, que queda con una sola incógnita.
3) Se resuelve esa ecuación de primer grado.
4) Se lleva el valor obtenido a la expresión despejada para hallar la otra incógnita.

Método de reducción. Consiste en conseguir que una incógnita tenga coeficientes opuestos (o iguales) en las dos ecuaciones para que desaparezca al sumarlas (o restarlas). Pasos:

1) Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.
2) Se suman las dos ecuaciones miembro a miembro: esa incógnita se elimina.
3) Se resuelve la ecuación resultante.
4) Se sustituye el valor en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la otra incógnita.

Los dos métodos dan siempre la misma solución; elegir uno u otro solo depende de cuál resulte más sencillo con los coeficientes del sistema.

Comprobación. Al terminar, conviene sustituir la solución en las dos ecuaciones originales: si ambas se cumplen, la solución es correcta.

Tipos de sistemas. Si al operar se obtiene una igualdad imposible, como 0 = 5, el sistema no tiene solución (incompatible). Si se obtiene 0 = 0, tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado). Si se obtiene un único valor para cada incógnita, es compatible determinado.

Consejos prácticos. Antes de empezar, ordena cada ecuación de la forma ax + by = c, con las incógnitas a la izquierda y los números a la derecha. Si hay paréntesis o denominadores, elimínalos primero. Usa sustitución cuando una incógnita esté ya despejada o tenga coeficiente 1; usa reducción cuando los coeficientes de una incógnita sean iguales, opuestos o múltiplos sencillos. Y al multiplicar una ecuación por un número, multiplica todos sus términos, incluido el del segundo miembro.

Ejemplo

Ejemplo 1 (sustitución). Resuelve el sistema: x + 2y = 8; 3x − y = 3.

Despejamos y en la segunda ecuación: y = 3x − 3.
Sustituimos en la primera: x + 2(3x − 3) = 8, es decir, x + 6x − 6 = 8.
Resolvemos: 7x = 14, luego x = 2.
Calculamos y: y = 3·2 − 3 = 3.
Comprobación: 2 + 2·3 = 8 y 3·2 − 3 = 3. Solución: x = 2, y = 3.

Ejemplo 2 (reducción). Resuelve el sistema: 2x + 3y = 13; 3x − 2y = 0.

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3: 4x + 6y = 26; 9x − 6y = 0.
Sumamos: 13x = 26, luego x = 2.
Sustituimos en la primera ecuación: 2·2 + 3y = 13, es decir, 3y = 9 y y = 3.
Comprobación: 2·2 + 3·3 = 13 y 3·2 − 2·3 = 0. Solución: x = 2, y = 3.

Ejercicios

Resuelve por sustitución el sistema: y = 2x − 1; 3x + y = 14. ¿Cuál es la solución?

Resuelve por reducción el sistema: 2x + 3y = 12; 2x − y = 4. ¿Cuánto vale x?

Material adicional

Funciones: lineal y cuadrática

Una función es una relación que asigna a cada valor de la variable independiente (x) un único valor de la variable dependiente (y). En esta lección estudiamos las funciones más importantes de 3.º ESO: la función lineal y la función cuadrática.

Conceptos básicos de funciones

Dominio: conjunto de valores de x para los que la función está definida.

Recorrido (o imagen): conjunto de valores que toma y.

Crecimiento y decrecimiento: una función es creciente si al aumentar x, aumenta y; es decreciente si al aumentar x, disminuye y.

Máximos y mínimos: puntos donde la función alcanza valores mayores o menores que los de su entorno.

Continuidad: una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Función lineal: y = mx + n

La función lineal tiene como gráfica una recta. Los parámetros son:

m = pendiente: indica la inclinación de la recta. Si m > 0, la recta sube (creciente). Si m < 0, baja (decreciente). Si m = 0, es horizontal (constante).

n = ordenada en el origen: punto donde la recta corta al eje Y, es decir (0, n).

Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

📘 Ejemplo resuelto

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(4, 9):
m = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2
y − 3 = 2(x − 1) → y = 2x + 1

Pendiente m = 2 (la recta sube, por cada unidad que avanza x, y sube 2).
Ordenada en el origen n = 1 (la recta corta al eje Y en (0, 1)).

Posiciones relativas de dos rectas

Condición	Posición	Ejemplo
m₁ ≠ m₂	Secantes (se cortan)	y = 2x + 1 e y = −x + 4
m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂	Paralelas (no se cortan)	y = 3x + 1 e y = 3x − 2
m₁ = m₂, n₁ = n₂	Coincidentes (misma recta)	y = 2x + 3 e y = 2x + 3
m₁ · m₂ = −1	Perpendiculares	y = 2x + 1 e y = −x/2 + 3

Función cuadrática: y = ax² + bx + c

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. El coeficiente a determina su forma:

Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (tiene un mínimo).

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo (tiene un máximo).

Vértice de la parábola (punto de máximo o mínimo):

x_v = −b / (2a) y_v = f(x_v)

Eje de simetría: la recta vertical x = −b/(2a).

Puntos de corte con el eje X: se obtienen resolviendo ax² + bx + c = 0.

Punto de corte con el eje Y: siempre es (0, c).

📘 Ejemplo resuelto

Estudiar la función f(x) = x² − 4x + 3:

Vértice: x_v = −(−4)/(2·1) = 2 → y_v = 4 − 8 + 3 = −1 → V(2, −1)
Eje de simetría: x = 2
Cortes con eje X: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1, x = 3 → (1,0) y (3,0)
Corte con eje Y: f(0) = 3 → (0, 3)
Orientación: a = 1 > 0 → parábola abierta hacia arriba (mínimo en V).

Representación de funciones

Para representar una función, conviene calcular una tabla de valores, identificar los puntos característicos y dibujar la curva de forma suave.

x	−1	0	1	2	3	4	5
f(x) = x²−4x+3	8	3	0	−1	0	3	8

✏️ Ejercicios

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) (0, 3) con pendiente −2 b) (2, 5) y (−1, −1)

2. Determina si las rectas y = 3x − 1 e y = −(1/3)x + 2 son perpendiculares. Justifica.

3. Para f(x) = −x² + 6x − 5, halla: vértice, eje de simetría, cortes con los ejes, orientación.

4. Dibuja la gráfica de g(x) = 2x² − 8x + 6 (calcula vértice y al menos 5 puntos).

5. ¿Cuántos puntos de corte con el eje X tiene f(x) = x² + 2x + 5? Justifica con el discriminante.

6. Un proyectil sigue la trayectoria h(t) = −5t² + 30t + 2 (h en metros, t en segundos). a) ¿Cuál es la altura máxima? b) ¿Cuándo llega al suelo?

7. Halla la función lineal cuya gráfica es paralela a y = 4x − 1 y pasa por el punto (2, 3).

8. Representa gráficamente en el mismo eje: y = x + 2 e y = x² − x − 2. ¿En qué puntos se cortan?

9. Un jardín rectangular tiene un lado adosado a una pared. Se dispone de 40 m de valla para cercar los otros tres lados. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

10. Identifica dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento de f(x) = −2x² + 4x + 1.

📋 Resumen de la lección

La función lineal y = mx + n tiene como gráfica una recta. m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
La función cuadrática y = ax² + bx + c tiene como gráfica una parábola.
El vértice está en x = −b/(2a). Si a > 0, hay mínimo; si a < 0, hay máximo.
Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax² + bx + c = 0.
El estudio de una función incluye: dominio, recorrido, crecimiento, cortes y extremos.

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