Funciones: lineal y cuadrática
Una función es una relación que asigna a cada valor de la variable independiente (x) un único valor de la variable dependiente (y). En esta lección estudiamos las funciones más importantes de 3.º ESO: la función lineal y la función cuadrática.
Conceptos básicos de funciones
Dominio: conjunto de valores de x para los que la función está definida.
Recorrido (o imagen): conjunto de valores que toma y.
Crecimiento y decrecimiento: una función es creciente si al aumentar x, aumenta y; es decreciente si al aumentar x, disminuye y.
Máximos y mínimos: puntos donde la función alcanza valores mayores o menores que los de su entorno.
Continuidad: una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Función lineal: y = mx + n
La función lineal tiene como gráfica una recta. Los parámetros son:
m = pendiente: indica la inclinación de la recta. Si m > 0, la recta sube (creciente). Si m < 0, baja (decreciente). Si m = 0, es horizontal (constante).
n = ordenada en el origen: punto donde la recta corta al eje Y, es decir (0, n).
Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
📘 Ejemplo resueltoHallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(4, 9):
m = (9 − 3)/(4 − 1) = 6/3 = 2
y − 3 = 2(x − 1) → y = 2x + 1
Pendiente m = 2 (la recta sube, por cada unidad que avanza x, y sube 2).
Ordenada en el origen n = 1 (la recta corta al eje Y en (0, 1)).
Posiciones relativas de dos rectas
| Condición | Posición | Ejemplo |
|---|
| m₁ ≠ m₂ | Secantes (se cortan) | y = 2x + 1 e y = −x + 4 |
| m₁ = m₂, n₁ ≠ n₂ | Paralelas (no se cortan) | y = 3x + 1 e y = 3x − 2 |
| m₁ = m₂, n₁ = n₂ | Coincidentes (misma recta) | y = 2x + 3 e y = 2x + 3 |
| m₁ · m₂ = −1 | Perpendiculares | y = 2x + 1 e y = −x/2 + 3 |
Función cuadrática: y = ax² + bx + c
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. El coeficiente a determina su forma:
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (tiene un mínimo).
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo (tiene un máximo).
Vértice de la parábola (punto de máximo o mínimo):
x_v = −b / (2a) y_v = f(x_v)
Eje de simetría: la recta vertical x = −b/(2a).
Puntos de corte con el eje X: se obtienen resolviendo ax² + bx + c = 0.
Punto de corte con el eje Y: siempre es (0, c).
📘 Ejemplo resueltoEstudiar la función f(x) = x² − 4x + 3:
Vértice: x_v = −(−4)/(2·1) = 2 → y_v = 4 − 8 + 3 = −1 → V(2, −1)
Eje de simetría: x = 2
Cortes con eje X: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1, x = 3 → (1,0) y (3,0)
Corte con eje Y: f(0) = 3 → (0, 3)
Orientación: a = 1 > 0 → parábola abierta hacia arriba (mínimo en V).
Representación de funciones
Para representar una función, conviene calcular una tabla de valores, identificar los puntos característicos y dibujar la curva de forma suave.
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| f(x) = x²−4x+3 | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 8 |
✏️ Ejercicios1. Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) (0, 3) con pendiente −2 b) (2, 5) y (−1, −1)
2. Determina si las rectas y = 3x − 1 e y = −(1/3)x + 2 son perpendiculares. Justifica.
3. Para f(x) = −x² + 6x − 5, halla: vértice, eje de simetría, cortes con los ejes, orientación.
4. Dibuja la gráfica de g(x) = 2x² − 8x + 6 (calcula vértice y al menos 5 puntos).
5. ¿Cuántos puntos de corte con el eje X tiene f(x) = x² + 2x + 5? Justifica con el discriminante.
6. Un proyectil sigue la trayectoria h(t) = −5t² + 30t + 2 (h en metros, t en segundos). a) ¿Cuál es la altura máxima? b) ¿Cuándo llega al suelo?
7. Halla la función lineal cuya gráfica es paralela a y = 4x − 1 y pasa por el punto (2, 3).
8. Representa gráficamente en el mismo eje: y = x + 2 e y = x² − x − 2. ¿En qué puntos se cortan?
9. Un jardín rectangular tiene un lado adosado a una pared. Se dispone de 40 m de valla para cercar los otros tres lados. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?
10. Identifica dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento de f(x) = −2x² + 4x + 1.
📋 Resumen de la lección- La función lineal y = mx + n tiene como gráfica una recta. m es la pendiente y n la ordenada en el origen.
- La función cuadrática y = ax² + bx + c tiene como gráfica una parábola.
- El vértice está en x = −b/(2a). Si a > 0, hay mínimo; si a < 0, hay máximo.
- Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax² + bx + c = 0.
- El estudio de una función incluye: dominio, recorrido, crecimiento, cortes y extremos.