Funciones lineales y afines

Introducción

Si un kilo de manzanas cuesta 2 €, el precio depende de los kilos que compres; si un taxi cobra una bajada de bandera más una cantidad por kilómetro, el precio depende de la distancia. Estas relaciones se describen con funciones lineales y afines, cuya gráfica es una recta.

Explicación

Función lineal o de proporcionalidad directa: y = mx. Su gráfica es una recta que pasa siempre por el origen (0, 0). El número m es la pendiente.

Función afín: y = mx + n. Su gráfica es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). El número n se llama ordenada en el origen. La función lineal es el caso particular en que n = 0.

Función constante: y = n (pendiente 0). Su gráfica es una recta horizontal.

La pendiente indica cuánto aumenta o disminuye y cuando x aumenta una unidad:

• m > 0: la recta es creciente.
• m < 0: la recta es decreciente.
• Cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta.

Si conocemos dos puntos de la recta, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la pendiente es m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Para representar una recta basta con calcular dos de sus puntos con una tabla de valores.

Ejemplo

Ejemplo 1: Un taxi cobra 3 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro. El precio es y = 1,2x + 3, una función afín con pendiente 1,2 y ordenada en el origen 3. Un viaje de 10 km cuesta y = 1,2 · 10 + 3 = 15 €.

Ejemplo 2: Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1, 2) y B(3, 8).

Pendiente: m = (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3. La recta es y = 3x + n. Como pasa por A(1, 2): 2 = 3 · 1 + n, luego n = −1. La ecuación es y = 3x − 1. Comprobación con B: 3 · 3 − 1 = 8.

Ejercicios