Función cuadrática: la parábola

Introducción

La trayectoria de un balón lanzado a canasta o el chorro de agua de una fuente tienen forma de parábola. La parábola es la gráfica de las funciones cuadráticas. En esta lección aprenderás a reconocerlas, a calcular sus elementos y a representarlas.

Explicación

Una función cuadrática es de la forma f(x) = ax² + bx + c, con a, b y c números reales y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola y su dominio son todos los números reales.

• Orientación: si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (tiene un mínimo); si a < 0, se abre hacia abajo (tiene un máximo). Cuanto mayor es |a|, más cerrada es la parábola.
• Vértice: es el punto más bajo o más alto. Su abscisa es x_v = −b / (2a), y su ordenada se obtiene sustituyendo: y_v = f(x_v).
• Eje de simetría: la recta vertical x = x_v. La parábola es simétrica respecto a ella.
• Corte con el eje Y: el punto (0, c).
• Cortes con el eje X: se resuelve ax² + bx + c = 0. Puede haber dos puntos, uno (el vértice está sobre el eje) o ninguno, según el discriminante b² − 4ac sea positivo, cero o negativo.

Para representarla: calcula el vértice, los cortes con los ejes y algunos puntos más con una tabla de valores, tomando valores de x a ambos lados del vértice; después une los puntos con una curva.

Ejemplo

Ejemplo 1: f(x) = x² − 4x + 3. Aquí a = 1, b = −4, c = 3.

• a = 1 > 0: se abre hacia arriba.
• x_v = −(−4) / (2 · 1) = 2; f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Vértice V(2, −1), que es un mínimo.
• Corte con el eje Y: (0, 3).
• Cortes con el eje X: x² − 4x + 3 = 0 → x = (4 ± √(16 − 12)) / 2 = (4 ± 2) / 2 → x = 3 y x = 1. Puntos (1, 0) y (3, 0).

Ejemplo 2: g(x) = −x² + 2x + 3. Como a = −1 < 0, se abre hacia abajo. x_v = −2 / (2 · (−1)) = 1; g(1) = −1 + 2 + 3 = 4. Vértice V(1, 4), que es un máximo. Cortes con el eje X: −x² + 2x + 3 = 0 → x = −1 y x = 3. Corte con el eje Y: (0, 3).

Ejercicios