Estadística
La estadística es la rama de las matemáticas que se ocupa de la recopilación, organización, análisis e interpretación de datos. Es una herramienta esencial en ciencia, economía, medicina, sociología, deporte y en la toma de decisiones en general.
Conceptos básicos
Población: el conjunto completo de individuos u objetos que se estudian.
Muestra: un subconjunto representativo de la población.
Variable estadística: la característica que se mide. Puede ser:
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|
| Cualitativa | No numérica (categorías) | Color de ojos, deporte favorito |
| Cuantitativa discreta | Valores enteros aislados | N.º de hermanos, goles marcados |
| Cuantitativa continua | Cualquier valor en un intervalo | Altura, peso, temperatura |
Frecuencia absoluta (fᵢ): número de veces que aparece cada valor.
Frecuencia relativa (hᵢ): fᵢ / N (proporción sobre el total).
Frecuencia acumulada (Fᵢ): suma de las frecuencias anteriores.
Tablas de frecuencia
📘 Ejemplo resueltoNotas de 20 alumnos: 5, 7, 6, 8, 5, 9, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 7, 8, 9, 6, 7, 5, 8, 7
| Nota (xᵢ) | fᵢ | hᵢ | hᵢ (%) | Fᵢ |
|---|
| 5 | 4 | 0,20 | 20% | 4 |
| 6 | 4 | 0,20 | 20% | 8 |
| 7 | 6 | 0,30 | 30% | 14 |
| 8 | 4 | 0,20 | 20% | 18 |
| 9 | 2 | 0,10 | 10% | 20 |
| Total | 20 | 1,00 | 100% | |
Medidas de tendencia central (posición)
Media aritmética (x̄): suma de todos los valores dividida por el total.
x̄ = (Σ xᵢ · fᵢ) / N
Mediana (Me): valor central cuando los datos están ordenados. Si N es par, es la media de los dos valores centrales.
Moda (Mo): valor que más se repite (mayor frecuencia).
📘 Ejemplo resueltoCon los datos anteriores (notas de 20 alumnos):
Media: x̄ = (5×4 + 6×4 + 7×6 + 8×4 + 9×2) / 20 = (20 + 24 + 42 + 32 + 18) / 20 = 136/20 = 6,8
Mediana: N = 20 (par) → Me = (x₁₀ + x₁₁)/2. Los datos ordenados: posición 10 = 7, posición 11 = 7 → Me = 7
Moda: Mo = 7 (aparece 6 veces, más que cualquier otro valor)
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión indican cuánto se alejan los datos del valor central.
Rango: diferencia entre el valor máximo y el mínimo.
Rango = x_máx − x_mín
Varianza (σ²): media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.
σ² = (Σ fᵢ · (xᵢ − x̄)²) / N
Desviación típica (σ): raíz cuadrada de la varianza. Tiene las mismas unidades que los datos.
σ = √σ²
Coeficiente de variación (CV): permite comparar dispersiones entre diferentes distribuciones.
CV = σ / x̄ (se suele expresar en %)
📘 Ejemplo resueltoCalcular la varianza y desviación típica del ejemplo anterior (x̄ = 6,8):
| xᵢ | fᵢ | xᵢ − x̄ | (xᵢ − x̄)² | fᵢ·(xᵢ − x̄)² |
|---|
| 5 | 4 | −1,8 | 3,24 | 12,96 |
| 6 | 4 | −0,8 | 0,64 | 2,56 |
| 7 | 6 | 0,2 | 0,04 | 0,24 |
| 8 | 4 | 1,2 | 1,44 | 5,76 |
| 9 | 2 | 2,2 | 4,84 | 9,68 |
| 20 | | | 31,20 |
σ² = 31,20 / 20 =
1,56σ = √1,56 ≈
1,25 Representaciones gráficas
Los datos estadísticos se representan mediante gráficos para facilitar su interpretación:
| Tipo de gráfico | Tipo de variable | Uso |
|---|
| Diagrama de barras | Cualitativa o discreta | Comparar frecuencias de categorías |
| Histograma | Continua (agrupada en intervalos) | Mostrar distribución de datos |
| Polígono de frecuencias | Cuantitativa | Mostrar evolución de frecuencias |
| Diagrama de sectores | Cualitativa | Mostrar proporciones del total |
| Diagrama de caja (box plot) | Cuantitativa | Mostrar posición, dispersión y atípicos |
Cuartiles y diagrama de caja
Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales:
Q₁ (primer cuartil): el 25% de los datos es menor. Q₂ (mediana). Q₃ (tercer cuartil): el 75% de los datos es menor.
El rango intercuartílico RIQ = Q₃ − Q₁ mide la dispersión central.
✏️ Ejercicios1. Las edades de los asistentes a una fiesta son: 12, 14, 15, 13, 14, 16, 15, 14, 13, 15, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 15, 14, 16, 15. Construye la tabla de frecuencias completa.
2. Calcula la media, mediana y moda de los datos del ejercicio anterior.
3. Calcula la varianza y la desviación típica del ejercicio 1.
4. En una clase, las notas de un examen son: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9. Calcula los cuartiles Q₁, Q₂ y Q₃.
5. Las temperaturas máximas (en °C) de una semana fueron: 22, 25, 23, 28, 30, 27, 24. Calcula media, rango y desviación típica.
6. En dos grupos A y B, las notas medias son 6,5 y 6,5 respectivamente. El grupo A tiene σ = 0,8 y el grupo B tiene σ = 2,1. ¿Cuál es más homogéneo? Justifica.
7. ¿Qué tipo de gráfico usarías para representar: a) los deportes favoritos de una clase, b) la distribución de alturas, c) la evolución de la temperatura a lo largo de un día?
8. La media de 5 números es 12. Si añadimos un sexto número, la nueva media es 14. ¿Cuál es el sexto número?
9. Un alumno tiene notas de 7, 5 y 8 en tres exámenes que valen 30%, 30% y 40% respectivamente. Calcula su nota media ponderada.
10. Inventa un conjunto de 10 datos cuya media sea 5, mediana sea 4,5 y moda sea 4.
🎯 Aplicación prácticaEncuesta estadística:
1. Elige un tema de interés (horas de sueño, tiempo de pantalla diario, deporte semanal) y pregunta a 20 compañeros.
2. Construye la tabla de frecuencias.
3. Calcula media, mediana, moda y desviación típica.
4. Representa los datos con un diagrama de barras y un diagrama de sectores.
5. Escribe tres conclusiones basadas en tus datos.
🤔 ¿Sabías que...?La estadística moderna nació en el siglo XVII con los trabajos de John Graunt sobre mortalidad en Londres. Hoy en día, los big data (grandes volúmenes de datos) y la inteligencia artificial dependen totalmente de métodos estadísticos. Empresas como Netflix, Spotify o Amazon usan estadística para predecir qué películas, canciones o productos te van a gustar.
📋 Resumen de la lección- La estadística estudia datos: los organiza, resume e interpreta.
- Medidas de posición: media (x̄), mediana (Me) y moda (Mo).
- Medidas de dispersión: rango, varianza (σ²), desviación típica (σ) y coeficiente de variación.
- Los cuartiles Q₁, Q₂ y Q₃ dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales.
- Los gráficos (barras, histogramas, sectores) facilitan la visualización y comprensión de los datos.