Concepto de función, dominio y propiedades

Introducción

Muchas situaciones relacionan dos cantidades: el precio que pagas depende de los kilos que compras, la temperatura depende de la hora del día. Las funciones son la herramienta matemática para describir estas relaciones. En esta lección aprenderás qué es una función, qué es su dominio y cuáles son sus propiedades principales.

Explicación

Una función es una relación entre dos variables, x (variable independiente) e y (variable dependiente), que a cada valor de x le asocia un único valor de y. Se escribe y = f(x). Si a algún valor de x le corresponden dos valores de y, la relación no es una función.

Una función puede darse mediante un enunciado, una tabla de valores, una gráfica o una fórmula (expresión algebraica).

• Dominio, Dom f: conjunto de valores de x para los que existe f(x). En las funciones dadas por fórmula hay que fijarse en dos casos: no se puede dividir entre cero y no existe la raíz cuadrada de un número negativo.
• Recorrido (o imagen), Im f: conjunto de valores que toma y.

Propiedades que se estudian en una función:

• Continuidad: una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz. Si tiene saltos o huecos, es discontinua en esos puntos.
• Crecimiento y decrecimiento: es creciente en un intervalo si al aumentar x aumenta y; es decreciente si al aumentar x disminuye y.
• Máximos y mínimos: un máximo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer; un mínimo, donde pasa de decrecer a crecer.
• Puntos de corte con los ejes: con el eje Y se calcula f(0); con el eje X se resuelve f(x) = 0.
• Simetría: f es par si f(−x) = f(x) (simétrica respecto al eje Y) e impar si f(−x) = −f(x) (simétrica respecto al origen).
• Periodicidad: una función es periódica si sus valores se repiten cada cierto intervalo, llamado periodo.

Ejemplo

Ejemplo 1 (dominio): f(x) = 1/(x − 3). No se puede dividir entre cero, así que x − 3 ≠ 0, es decir, x ≠ 3. Dom f = ℝ − {3}.

Ejemplo 2 (dominio): g(x) = √(x − 2). El radicando no puede ser negativo: x − 2 ≥ 0, es decir, x ≥ 2. Dom g = [2, +∞).

Ejemplo 3 (simetría y cortes): h(x) = x² − 4. Como h(−x) = (−x)² − 4 = x² − 4 = h(x), es par. Corte con el eje Y: h(0) = −4, punto (0, −4). Corte con el eje X: x² − 4 = 0, x = 2 o x = −2, puntos (2, 0) y (−2, 0). Es decreciente para x < 0, creciente para x > 0 y tiene un mínimo en (0, −4).

Ejercicios