Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solo se cumple para ciertos valores de la letra, llamada incógnita. Es de primer grado cuando, después de simplificar, la incógnita aparece con exponente 1, por ejemplo 3x − 7 = 2x + 5.

Elementos de una ecuación

• Miembros: la expresión a la izquierda del signo = es el primer miembro, y la de la derecha, el segundo.
• Términos: cada uno de los sumandos de los miembros.
• Solución: el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Para resolver una ecuación la vamos transformando en otras equivalentes más sencillas usando dos reglas:

• Regla de la suma: si sumamos o restamos el mismo número o expresión a los dos miembros, obtenemos una ecuación equivalente. En la práctica, un término que está sumando en un miembro pasa al otro restando, y viceversa.
• Regla del producto: si multiplicamos o dividimos los dos miembros por el mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente. En la práctica, un número que multiplica a todo un miembro pasa al otro dividiendo, y viceversa.

Pasos para resolver una ecuación

1. Quitar denominadores, multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. Quitar paréntesis, aplicando la propiedad distributiva (cuidado con los signos negativos delante del paréntesis).
3. Agrupar los términos con x en un miembro y los números en el otro.
4. Reducir los términos semejantes.
5. Despejar la incógnita.
6. Comprobar la solución sustituyéndola en la ecuación inicial.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Resuelve 3x − 7 = 2x + 5.

Pasamos 2x al primer miembro y −7 al segundo: 3x − 2x = 5 + 7 → x = 12.
Comprobación: 3 · 12 − 7 = 29 y 2 · 12 + 5 = 29. Se cumple.

Ejemplo 2 (con paréntesis). Resuelve 4(x − 2) − 3(2x + 1) = 5.

Quitamos paréntesis: 4x − 8 − 6x − 3 = 5. Fíjate en que el −3 multiplica a los dos términos del paréntesis.
Reducimos: −2x − 11 = 5 → −2x = 16 → x = −8.
Comprobación: 4(−8 − 2) − 3(−16 + 1) = 4 · (−10) − 3 · (−15) = −40 + 45 = 5. Se cumple.

Ejemplo 3 (con denominadores). Resuelve (x + 1)/2 − (x − 2)/3 = 2.

El m.c.m. de 2 y 3 es 6. Multiplicamos los dos miembros por 6: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 12.
Quitamos paréntesis: 3x + 3 − 2x + 4 = 12 → x + 7 = 12 → x = 5.
Comprobación: (5 + 1)/2 − (5 − 2)/3 = 3 − 1 = 2. Se cumple.

Ejemplo 4 (casos especiales).

• 2(x + 3) = 2x + 6 → 2x + 6 = 2x + 6 → 0x = 0. Se cumple para cualquier valor de x: tiene infinitas soluciones (en realidad es una identidad).
• 2x + 1 = 2x + 5 → 0x = 4. Ningún número multiplicado por 0 da 4: la ecuación no tiene solución.

Resolución de problemas

Para resolver un problema con ecuaciones: lee el enunciado con calma, elige qué representa la incógnita, plantea la ecuación traduciendo los datos, resuélvela y comprueba que la solución tiene sentido en el contexto.

Ejemplo 5. La suma de tres números consecutivos es 78. ¿Cuáles son?

Llamamos x al menor; los otros son x + 1 y x + 2.
x + (x + 1) + (x + 2) = 78 → 3x + 3 = 78 → 3x = 75 → x = 25.
Los números son 25, 26 y 27. Comprobación: 25 + 26 + 27 = 78.

Ejemplo 6. Una madre tiene 38 años y su hija, 10. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple de la de la hija?

Dentro de x años, la madre tendrá 38 + x y la hija 10 + x.
38 + x = 3(10 + x) → 38 + x = 30 + 3x → 8 = 2x → x = 4.
Dentro de 4 años. Comprobación: la madre tendrá 42 y la hija 14, y 42 = 3 · 14.

Errores frecuentes

• Cambiar de signo solo el primer término al quitar un paréntesis precedido de un signo menos: −(x − 2) = −x + 2, no −x − 2.
• Al quitar denominadores, olvidar multiplicar también los términos que no tienen denominador.
• Pasar un número que multiplica al otro miembro restando en lugar de dividiendo.

Ejercicios

Resumen

• Una ecuación de primer grado tiene la incógnita con exponente 1; su solución es el valor que hace cierta la igualdad.
• Se resuelve transformándola en ecuaciones equivalentes: quitar denominadores, quitar paréntesis, agrupar, reducir y despejar.
• Siempre conviene comprobar la solución en la ecuación inicial.
• Si se llega a 0x = 0 hay infinitas soluciones; si se llega a 0x = número distinto de 0, no hay solución.