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Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales está formado por dos o más ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas. En 3.º de ESO trabajaremos con sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Forma general
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Una solución del sistema es un par de valores (x, y) que satisface ambas ecuaciones simultáneamente.
Clasificación de sistemas
| Tipo | Relación | Soluciones | Gráficamente |
|---|
| Compatible determinado (SCD) | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | Una solución única | Rectas secantes |
| Compatible indeterminado (SCI) | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | Infinitas soluciones | Rectas coincidentes |
| Incompatible (SI) | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | Sin solución | Rectas paralelas |
Método de sustitución
Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra.
📘 Ejemplo resueltoResolver: x + 2y = 5 (I) 3x − y = 1 (II)
Paso 1: De (I): x = 5 − 2y
Paso 2: Sustituimos en (II): 3(5 − 2y) − y = 1
15 − 6y − y = 1 → −7y = −14 → y = 2
Paso 3: x = 5 − 2(2) = 1
Solución: (x, y) = (1, 2)
Método de igualación
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones.
📘 Ejemplo resueltoResolver: 2x + y = 7 (I) x − y = 2 (II)
De (I): y = 7 − 2x De (II): y = x − 2
Igualamos: 7 − 2x = x − 2 → 9 = 3x → x = 3
y = 3 − 2 = 1
Solución: (x, y) = (3, 1)
Método de reducción (o eliminación)
Se multiplican las ecuaciones por números convenientes para que, al sumarlas, se elimine una incógnita.
📘 Ejemplo resueltoResolver: 3x + 4y = 10 (I) 2x − 3y = 1 (II)
Multiplicamos (I)×3 y (II)×4 para eliminar y:
9x + 12y = 30
8x − 12y = 4
─────────────
17x = 34 → x = 2
Sustituimos en (I): 6 + 4y = 10 → 4y = 4 → y = 1
Solución: (x, y) = (2, 1)
Resolución gráfica
Cada ecuación lineal representa una recta en el plano. La solución del sistema es el punto de intersección de ambas rectas.
Para representar una recta, despejamos y = mx + n y dibujamos al menos dos puntos.
📘 Ejemplo resueltoSistema: x + y = 4 x − y = 2
Recta 1: y = −x + 4 (pasa por (0,4) y (4,0))
Recta 2: y = x − 2 (pasa por (0,−2) y (2,0))
Las rectas se cortan en el punto (3, 1).
Problemas con sistemas
📘 Ejemplo resueltoProblema: En una granja hay gallinas y conejos. En total son 20 animales y se cuentan 56 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay?
Sea g = gallinas, c = conejos
g + c = 20 (total de animales)
2g + 4c = 56 (total de patas)
De la primera: g = 20 − c
2(20 − c) + 4c = 56
40 − 2c + 4c = 56
2c = 16 → c = 8
g = 20 − 8 = 12
Hay 12 gallinas y 8 conejos. Comprobación: 12·2 + 8·4 = 24 + 32 = 56 patas ✓
✏️ Ejercicios1. Resuelve por sustitución: a) x + y = 10 2x − y = 8 b) 3x − 2y = 1 x + y = 3
2. Resuelve por igualación: 5x + 3y = 19 2x + 3y = 10
3. Resuelve por reducción: 4x − 5y = 2 3x + 2y = 13
4. Clasifica sin resolver: a) 2x + 4y = 6 x + 2y = 3 b) x − y = 1 2x − 2y = 5
5. La suma de dos números es 47 y su diferencia es 13. Hállalos.
6. Una entrada de adulto cuesta 8 € y una de niño 5 €. Se vendieron 200 entradas y se recaudaron 1.240 €. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?
7. Un barco navega a favor de la corriente a 24 km/h y en contra a 16 km/h. Halla la velocidad del barco y la de la corriente.
8. Halla dos números tales que el triple del primero más el doble del segundo sea 23, y la mitad del primero menos el tercio del segundo sea 1.
9. Resuelve gráficamente: y = 2x − 1 y = −x + 5 (indica al menos 3 puntos de cada recta).
10. El perímetro de un rectángulo es 40 cm. Si el largo es el doble del ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?
📋 Resumen de la lección- Un sistema 2×2 se resuelve por sustitución, igualación, reducción o gráficamente.
- Compatible determinado: solución única (rectas secantes).
- Compatible indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes).
- Incompatible: sin solución (rectas paralelas).
- Para problemas: definir incógnitas, plantear ecuaciones con los datos y resolver.