Cuando deslizamos un objeto sobre una mesa, giramos el volante de un coche o nos miramos en un espejo, estamos haciendo movimientos en el plano. En esta lección estudiamos los tres movimientos básicos: traslaciones, giros y simetrías, y aprendemos a calcularlos con coordenadas.
Un movimiento (o isometría) es una transformación del plano que cambia la posición de una figura, pero conserva su forma y su tamaño: las distancias y los ángulos no varían. La figura obtenida se llama imagen y sus puntos se nombran con prima: A', B'…
1. Traslación. Desplaza todos los puntos de la figura la misma distancia, en la misma dirección y sentido. Queda determinada por un vector v = (a, b). Cada punto P(x, y) se transforma en P'(x + a, y + b). La traslación conserva la orientación de la figura.
2. Giro. Hace girar la figura alrededor de un punto fijo, el centro de giro, un ángulo determinado. Por convenio, el sentido positivo es el contrario al de las agujas del reloj (antihorario). Si el centro es el origen O(0, 0):
El giro también conserva la orientación.
3. Simetrías.
Una figura tiene eje de simetría si al aplicarle la simetría respecto a ese eje coincide consigo misma: un cuadrado tiene 4 ejes y un círculo, infinitos.
Ejemplo 1. Aplica al triángulo A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3) la traslación de vector v = (−2, 3). Sumamos −2 a cada abscisa y 3 a cada ordenada: A'(−1, 4), B'(2, 4), C'(−1, 6). El triángulo imagen es igual al original, solo ha cambiado de sitio.
Ejemplo 2. Gira el punto P(3, 1) 90° en sentido antihorario con centro en el origen. Aplicamos (x, y) → (−y, x): P'(−1, 3).
Ejemplo 3. Halla el simétrico de Q(2, −5) respecto al eje Y. Cambiamos el signo de la abscisa: Q'(−2, −5).
Halla la imagen del punto P(−3, 2) mediante un giro de 180° con centro en el origen.
Una traslación lleva el punto P(1, 4) al punto P'(5, 2). ¿Cuál es el vector de la traslación?
Una transformación geométrica que cambia la posición de una figura sin alterar su forma ni su tamaño se llama movimiento (o isometría).
Mover una figura en una dirección y distancia determinadas (vector de traslación).
Si el vector es (a, b), cada punto (x, y) pasa a (x+a, y+b).
Girar una figura alrededor de un punto fijo (centro de giro) un ángulo determinado.
Ejemplo: girar 90 grados en sentido antihorario alrededor del origen: (x, y) -> (-y, x).
Respecto al eje X: (x, y) -> (x, -y).
Respecto al eje Y: (x, y) -> (-x, y).
Traslación del triángulo A(1,2), B(3,2), C(2,4) con vector (3, -1):
A'(4, 1), B'(6, 1), C'(5, 3).
Simetría axial respecto al eje Y del punto P(3, 5):
P'(-3, 5).
Repasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Traslaciones, giros y simetrías.
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