Estadística: media, mediana, moda, rango y probabilidad
En 2.º de ESO profundizamos en las medidas estadísticas, trabajamos con datos agrupados en tablas de frecuencias, y ampliamos el estudio de la probabilidad con sucesos compuestos.
Repaso: variables y tablas de frecuencia
Una variable estadística puede ser:
- Cualitativa: expresa cualidades (color, deporte, nacionalidad).
- Cuantitativa discreta: toma valores enteros aislados (n.º de hermanos, goles).
- Cuantitativa continua: puede tomar cualquier valor en un intervalo (peso, altura, tiempo).
Tabla de frecuencias completa
Con los siguientes datos (notas de 25 alumnos): 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10.
| xᵢ | fᵢ | Fᵢ | hᵢ | Hᵢ | hᵢ (%) |
|---|
| 3 | 1 | 1 | 0,04 | 0,04 | 4% |
| 4 | 1 | 2 | 0,04 | 0,08 | 4% |
| 5 | 2 | 4 | 0,08 | 0,16 | 8% |
| 6 | 3 | 7 | 0,12 | 0,28 | 12% |
| 7 | 5 | 12 | 0,20 | 0,48 | 20% |
| 8 | 6 | 18 | 0,24 | 0,72 | 24% |
| 9 | 4 | 22 | 0,16 | 0,88 | 16% |
| 10 | 3 | 25 | 0,12 | 1,00 | 12% |
| Total | 25 | | 1,00 | | 100% |
Medidas de tendencia central
🔢 FórmulaMedia aritmética (x̄):
x̄ = (Σ xᵢ × fᵢ) / N
Mediana (Me): valor que ocupa la posición central (N+1)/2 en los datos ordenados.
Moda (Mo): valor con mayor frecuencia absoluta.
📘 EjemploCon los datos de la tabla anterior (N = 25):
Media:
x̄ = (3×1 + 4×1 + 5×2 + 6×3 + 7×5 + 8×6 + 9×4 + 10×3) / 25
= (3 + 4 + 10 + 18 + 35 + 48 + 36 + 30) / 25
= 184 / 25 = 7,36
Mediana: posición (25+1)/2 = 13.ª → el dato 13.º es 8 (F₈ = 18 ≥ 13)
Moda: Mo = 8 (aparece 6 veces, la mayor frecuencia)
Medidas de dispersión
🔢 FórmulaRango: R = x_máx − x_mín
Desviación media: DM = Σ |xᵢ − x̄| × fᵢ / N
(En 2.º ESO trabajamos principalmente con el rango)
📘 EjemploRango = 10 − 3 = 7
Esto indica que las notas varían en un rango de 7 puntos.
Interpretación de gráficos
Al analizar un gráfico estadístico debemos fijarnos en:
- Las tendencias: ¿los datos suben, bajan o se mantienen?
- Los valores atípicos (outliers): datos muy alejados del resto.
- La simetría: ¿los datos están repartidos por igual a ambos lados de la media?
- La concentración: ¿dónde se acumulan más datos?
Probabilidad: conceptos avanzados
Recordamos la regla de Laplace:
🔢 FórmulaP(A) = número de casos favorables / número de casos posibles
Suceso contrario
📘 EjemploSi P(lluvia) = 0,3, entonces P(no lluvia) = 1 − 0,3 = 0,7
Sucesos compuestos con diagramas de árbol
📘 EjemploExperimento: se lanza una moneda y un dado. ¿Cuántos resultados posibles hay?
Moneda: 2 resultados (cara, cruz)
Dado: 6 resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Total: 2 × 6 = 12 resultados
P(cara y número par) = casos favorables / 12
Casos favorables: (C,2), (C,4), (C,6) → 3 casos
P = 3/12 = 1/4
📘 EjemploExperimento: en una urna hay 3 bolas rojas y 2 azules. Se sacan dos bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos rojas?
P(1.ª roja) = 3/5
P(2.ª roja | la 1.ª fue roja) = 2/4 = 1/2
P(dos rojas) = 3/5 × 1/2 = 3/10 = 0,3
Frecuencia relativa y probabilidad experimental
La probabilidad experimental (o frecuencia relativa) es la proporción de veces que ocurre un suceso cuando repetimos un experimento muchas veces. Cuantas más veces repitamos el experimento, más se acerca la frecuencia relativa a la probabilidad teórica.
📘 EjemploLanzamos una moneda 100 veces y obtenemos 47 caras.
Frecuencia relativa de cara = 47/100 = 0,47
La probabilidad teórica es 0,5. Con más lanzamientos se acercará.
🌍 Aplicación en la vida realEn un instituto, las notas de matemáticas de 30 alumnos son:
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10.
Media: Σxᵢfᵢ / 30 = (2 + 3 + 8 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 20) / 30 = 201/30 = 6,7
Mediana: posición 15,5 → datos 15.º y 16.º → (7 + 7)/2 = 7
Moda: Mo = 7 (6 veces)
Rango: 10 − 2 = 8
El aprobado es 5. Alumnos aprobados: 26 de 30.
Si escogemos un alumno al azar: P(aprobado) = 26/30 = 13/15 ≈ 0,867 (86,7%).
✏️ Ejercicios1. Las edades de 20 personas son: 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22. Construye la tabla completa de frecuencias (fᵢ, Fᵢ, hᵢ).
2. Con los datos del ejercicio 1, calcula la media, la mediana, la moda y el rango.
3. En un diagrama de sectores, ¿qué ángulo corresponde a una categoría cuya frecuencia relativa es 0,35?
4. Se lanza un dado. Calcula:
a) P(obtener un 4) b) P(obtener un número primo) c) P(no obtener un 6)
5. En una bolsa hay 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Se saca una al azar. Calcula:
a) P(blanca) b) P(no roja) c) P(blanca o negra)
6. Se lanzan dos dados. ¿Cuántos resultados posibles hay? Calcula P(suma = 7).
7. Se lanza una moneda 3 veces. Escribe todos los resultados posibles. Calcula P(exactamente 2 caras).
8. La media de las notas de 5 exámenes es 6,4. Si las notas de los 4 primeros son: 5, 7, 8 y 4, ¿cuál es la nota del quinto examen?
9. Se extraen 2 cartas de una baraja española de 40 cartas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean oros?
10. En un sondeo sobre deporte favorito en un instituto de 200 alumnos: fútbol 35%, baloncesto 25%, natación 20%, otros 20%. a) ¿Cuántos alumnos prefieren cada deporte? b) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es P(no fútbol)?
📋 Resumen de la lección- Media: suma de todos los datos dividida entre el número de datos.
- Mediana: valor central en los datos ordenados.
- Moda: valor más frecuente. Rango: valor máximo − valor mínimo.
- Probabilidad (Laplace) = casos favorables / casos posibles.
- P(suceso contrario) = 1 − P(suceso).
- Para sucesos compuestos se usa el principio multiplicativo (diagramas de árbol).
- La frecuencia relativa se acerca a la probabilidad teórica con muchas repeticiones.