Temario gratis › Matemáticas 2.º ESO

Ampliación y resumen - Potencias

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Introducción

En esta lección, aprenderemos a ampliar y resumir información utilizando potencias. Los exponentes nos ayudan a simplificar y organizar grandes cantidades de información.

Explicación

En matemáticas, las potencias nos permiten representar y manipular números muy grandes de manera concisa. Una potencia es una multiplicación de la misma base por sí misma tantas veces como el exponente indique. Por ejemplo, 2^3 representa 2 x 2 x 2.

Ejemplo

Ejemplo: Calcula 5^4.

Ejercicios

Calcula 10³.

Calcula (2³)².

Material adicional

Áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos geométricos

En 2.º de ESO ampliamos el cálculo de áreas incluyendo polígonos regulares y figuras compuestas, e introducimos los cuerpos geométricos y el cálculo de volúmenes.

Repaso: áreas de figuras planas

Figura	Fórmula del área
Cuadrado (lado l)	A = l²
Rectángulo (base b, altura h)	A = b × h
Triángulo (base b, altura h)	A = (b × h) / 2
Rombo (diagonales D, d)	A = (D × d) / 2
Trapecio (bases B, b; altura h)	A = [(B + b) × h] / 2
Círculo (radio r)	A = π × r²

Área de un polígono regular

🔢 Fórmula

A = (perímetro × apotema) / 2

donde apotema = distancia del centro al punto medio de un lado.

📘 Ejemplo

Un hexágono regular tiene lado 6 cm y apotema 5,2 cm.

Perímetro = 6 × 6 = 36 cm
A = (36 × 5,2) / 2 = 187,2 / 2 = 93,6 cm²

Cuerpos geométricos: poliedros

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los principales son:

Cuerpo	Caras	Aristas	Vértices
Tetraedro	4 triángulos	6	4
Cubo (hexaedro)	6 cuadrados	12	8
Ortoedro (prisma rectangular)	6 rectángulos	12	8
Prisma triangular	2 triángulos + 3 rectángulos	9	6
Pirámide cuadrada	1 cuadrado + 4 triángulos	8	5

Volumen del prisma y del cubo

🔢 Fórmula

Prisma: V = Área de la base × altura

Cubo: V = l³ (caso particular del prisma)

📘 Ejemplo

Cubo de arista 5 cm:
V = 5³ = 125 cm³

Prisma rectangular de 8 × 5 × 3 cm:
V = 8 × 5 × 3 = 120 cm³

Prisma triangular cuya base es un triángulo de base 6 cm y altura 4 cm, y la altura del prisma es 10 cm:
Área de la base = (6 × 4)/2 = 12 cm²
V = 12 × 10 = 120 cm³

Volumen de la pirámide

🔢 Fórmula

V = (Área de la base × altura) / 3

📘 Ejemplo

Una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 10 cm de altura:

Área de la base = 6² = 36 cm²
V = (36 × 10) / 3 = 360/3 = 120 cm³

Volumen del cilindro

🔢 Fórmula

V = π × r² × h

📘 Ejemplo

Un cilindro tiene radio 4 cm y altura 10 cm:

V = π × 4² × 10 = π × 16 × 10 = 160π ≈ 502,65 cm³

Volumen del cono

🔢 Fórmula

V = (π × r² × h) / 3

📘 Ejemplo

Un cono tiene radio 3 cm y altura 8 cm:

V = (π × 3² × 8) / 3 = (72π) / 3 = 24π ≈ 75,40 cm³

Volumen de la esfera

🔢 Fórmula

V = (4/3) × π × r³

📘 Ejemplo

Una esfera tiene radio 6 cm:

V = (4/3) × π × 6³ = (4/3) × π × 216 = 288π ≈ 904,78 cm³

Relación entre unidades de volumen y capacidad

Volumen	Capacidad
1 cm³	1 mL (mililitro)
1 dm³	1 L (litro)
1 m³	1.000 L

🌍 Aplicación en la vida real

Problema: Una piscina tiene forma de prisma rectangular de 12 m × 6 m × 1,8 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua caben?

V = 12 × 6 × 1,8 = 129,6 m³
Como 1 m³ = 1.000 L → 129.600 litros

✏️ Ejercicios

1. Calcula el área de un hexágono regular de lado 8 cm y apotema 6,93 cm.

2. Calcula el volumen de un cubo de arista 7 cm.

3. Un prisma rectangular mide 10 × 6 × 4 cm. Calcula su volumen y su área total.

4. Calcula el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 8 cm y altura 12 cm.

5. Calcula el volumen de un cilindro de radio 5 cm y altura 12 cm.

6. Calcula el volumen de un cono de radio 4 cm y altura 9 cm.

7. Calcula el volumen de una esfera de radio 10 cm.

8. Una lata de refresco tiene radio 3,3 cm y altura 11,5 cm. ¿Cuántos mL caben? (1 cm³ = 1 mL)

9. Un acuario tiene forma de prisma rectangular de 60 cm × 30 cm × 40 cm. Si está lleno hasta 3/4 de su altura, ¿cuántos litros de agua contiene?

10. Compara los volúmenes de un cilindro y un cono que tienen la misma base (radio 5 cm) y la misma altura (10 cm). ¿Qué relación hay entre ellos?

📋 Resumen de la lección

Área del polígono regular: (perímetro × apotema) / 2.
Volumen del prisma: V = Área base × h. Cubo: V = l³.
Volumen de la pirámide: V = (Área base × h) / 3.
Volumen del cilindro: V = πr²h. Cono: V = (πr²h) / 3.
Volumen de la esfera: V = (4/3)πr³.
Relaciones: 1 cm³ = 1 mL, 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1.000 L.
El cono tiene 1/3 del volumen del cilindro con la misma base y altura.

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