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Introducción
En esta lección repasamos las potencias: qué son, cómo se calculan con números enteros y fracciones, y qué propiedades permiten simplificarlas. Como ampliación, veremos las potencias de exponente cero y negativo.
Explicación
Resumen de conceptos
Una potencia es un producto de factores iguales: aⁿ = a · a · … · a (n veces). a es la base y n el exponente. Ejemplo: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Signo con base negativa: si el exponente es par, el resultado es positivo; si es impar, negativo: (−2)⁴ = 16 y (−2)³ = −8.
Atención: no es lo mismo (−2)⁴ = 16 que −2⁴ = −16; en el segundo caso solo se eleva el 2.
Potencia de una fracción: se elevan numerador y denominador: (2/3)² = 4/9.
Propiedades (con la misma base o el mismo exponente)
Producto de igual base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Ejemplo: 5² · 5³ = 5⁵.
Cociente de igual base: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ejemplo: 7⁶ : 7² = 7⁴.
Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Ejemplo: (2³)² = 2⁶ = 64.
Producto con igual exponente: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ. Ejemplo: 2³ · 5³ = 10³ = 1000.
Cociente con igual exponente: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Ejemplo: 12² : 4² = 3² = 9.
Ejemplo con fracciones: (3/4)² · (3/4)³ = (3/4)⁵, y (2/5)³ = 8/125.
No hay propiedad para la suma: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, que no es 2⁵ = 32.
Ampliación
Exponente cero: a⁰ = 1 para cualquier base distinta de cero (por ejemplo, 5³ : 5³ = 5⁰ = 1).
Áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos geométricos
En 2.º de ESO ampliamos el cálculo de áreas incluyendo polígonos regulares y figuras compuestas, e introducimos los cuerpos geométricos y el cálculo de volúmenes.
Repaso: áreas de figuras planas
Figura
Fórmula del área
Cuadrado (lado l)
A = l²
Rectángulo (base b, altura h)
A = b × h
Triángulo (base b, altura h)
A = (b × h) / 2
Rombo (diagonales D, d)
A = (D × d) / 2
Trapecio (bases B, b; altura h)
A = [(B + b) × h] / 2
Círculo (radio r)
A = π × r²
Área de un polígono regular
🔢 Fórmula
A = (perímetro × apotema) / 2
donde apotema = distancia del centro al punto medio de un lado.
📘 Ejemplo
Un hexágono regular tiene lado 6 cm y apotema 5,2 cm.
Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos. Los principales son:
Cuerpo
Caras
Aristas
Vértices
Tetraedro
4 triángulos
6
4
Cubo (hexaedro)
6 cuadrados
12
8
Ortoedro (prisma rectangular)
6 rectángulos
12
8
Prisma triangular
2 triángulos + 3 rectángulos
9
6
Pirámide cuadrada
1 cuadrado + 4 triángulos
8
5
Volumen del prisma y del cubo
🔢 Fórmula
Prisma: V = Área de la base × altura
Cubo: V = l³ (caso particular del prisma)
📘 Ejemplo
Cubo de arista 5 cm: V = 5³ = 125 cm³
Prisma rectangular de 8 × 5 × 3 cm: V = 8 × 5 × 3 = 120 cm³
Prisma triangular cuya base es un triángulo de base 6 cm y altura 4 cm, y la altura del prisma es 10 cm: Área de la base = (6 × 4)/2 = 12 cm² V = 12 × 10 = 120 cm³
Volumen de la pirámide
🔢 Fórmula
V = (Área de la base × altura) / 3
📘 Ejemplo
Una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y 10 cm de altura:
Área de la base = 6² = 36 cm² V = (36 × 10) / 3 = 360/3 = 120 cm³