Potencias y notación científica

Introducción

Las potencias permiten escribir de forma abreviada multiplicaciones de un mismo número, y la notación científica permite escribir con comodidad números muy grandes (la distancia de la Tierra al Sol, unos 150 000 000 km) o muy pequeños (el tamaño de una bacteria, unas milésimas de milímetro). En esta lección repasamos las propiedades de las potencias y aprendemos a usar la notación científica.

Explicación

1. Qué es una potencia. Una potencia aⁿ es una multiplicación de factores iguales: la base a se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente n. Por ejemplo, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 y 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Ojo: 3⁴ no es 3 · 4.

2. Propiedades (con a distinto de 0):

• Producto de potencias de igual base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Ejemplo: 2³ · 2⁴ = 2⁷.
• Cociente de potencias de igual base: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Ejemplo: 5⁶ : 5² = 5⁴.
• Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Ejemplo: (3²)³ = 3⁶.
• Exponente cero: a⁰ = 1.
• Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ejemplo: 2⁻³ = 1/8.

3. Potencias de 10. 10ⁿ es un 1 seguido de n ceros (10⁴ = 10 000), y 10⁻ⁿ es un 1 situado en la posición decimal n (10⁻³ = 0,001).

4. Notación científica. Un número está en notación científica cuando se escribe como a · 10ⁿ, donde a tiene una sola cifra entera distinta de cero (1 ≤ a < 10) y n es un número entero.

• Números grandes: el exponente es positivo e indica cuántos lugares se ha desplazado la coma hacia la izquierda. 45 000 = 4,5 · 10⁴.
• Números pequeños: el exponente es negativo e indica cuántos lugares se ha desplazado la coma hacia la derecha. 0,000 72 = 7,2 · 10⁻⁴.

5. Operar en notación científica. Para multiplicar, se multiplican las partes decimales y se suman los exponentes; para dividir, se dividen y se restan. Si el resultado no tiene una sola cifra entera, se ajusta.

Ejemplo

Ejemplo 1. Escribe 345 000 en notación científica. Colocamos la coma tras la primera cifra: 3,45. La coma se ha desplazado 5 lugares a la izquierda, así que 345 000 = 3,45 · 10⁵.

Ejemplo 2. Escribe 0,000 072 en notación científica. La primera cifra distinta de cero es el 7; la coma se desplaza 5 lugares a la derecha: 0,000 072 = 7,2 · 10⁻⁵.

Ejemplo 3. Calcula (3 · 10⁴) · (5 · 10⁻⁷). Multiplicamos 3 · 5 = 15 y sumamos exponentes: 4 + (−7) = −3. Queda 15 · 10⁻³, que no está en notación científica; como 15 = 1,5 · 10, el resultado es 1,5 · 10⁻².

Ejercicios