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Introducción
En este bloque, exploraremos las potencias y notación científica, herramientas fundamentales en la matemática para representar números altamente grandes o pequeños. Se trata de técnicas para representar magnitudes relativas de manera concisa, especialmente en ciencias y tecnología.
Explicación
Las potencias son números elevados a una potencia de exponente, como 2^3 = 8. Notación científica se utiliza para representar números muy grandes o muy pequeños en forma más amigable, como 1,23 x 10^5 para 123,000 o 0,00000345 para 3,45 x 10^-6.
Ejemplo
Ejemplo: Representar 345,000 en notación científica.
Ejercicios
Calcula 3⁴.
Escribe en notación científica el número 45000.
Material adicional
Proporcionalidad directa e inversa
En 2.º de ESO ampliamos el estudio de la proporcionalidad incluyendo la proporcionalidad inversa y la resolución de problemas más complejos con porcentajes, repartos proporcionales e interés simple.
Proporcionalidad directa (repaso)
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Su cociente es constante.
🔢 Fórmula
a₁/b₁ = a₂/b₂ = k
📘 Ejemplo
Si 5 kg de naranjas cuestan 6,50 €, ¿cuánto cuestan 8 kg?
5/6,50 = 8/x → x = (8 × 6,50)/5 = 52/5 = 10,40 €
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. Su producto es constante.
🔢 Fórmula
a₁ × b₁ = a₂ × b₂ = k
📘 Ejemplo
Ejemplo clásico: Si 4 obreros tardan 15 días en hacer una obra, ¿cuántos días tardarán 6 obreros?
Más obreros → menos días (inversamente proporcional). 4 × 15 = 6 × x → x = 60/6 = 10 días
Cómo distinguir proporcionalidad directa de inversa
Situación
Tipo
Razonamiento
Más kg → más precio
Directa
Al aumentar una, aumenta la otra
Más obreros → menos tiempo
Inversa
Al aumentar una, disminuye la otra
Más velocidad → menos tiempo
Inversa
Al aumentar una, disminuye la otra
Más horas → más distancia
Directa
Al aumentar una, aumenta la otra
Más grifos → menos tiempo para llenar
Inversa
Al aumentar una, disminuye la otra
Porcentajes: aumentos y disminuciones
🔢 Fórmula
Aumento del P%: Cantidad final = C × (1 + P/100)
Disminución del P%: Cantidad final = C × (1 − P/100)
Aumentos/disminuciones sucesivos: se multiplican los factores.
📘 Ejemplo
Un artículo de 200 € primero sube un 10% y luego baja un 10%. ¿Vuelve al precio original?
Tras la subida: 200 × 1,10 = 220 € Tras la bajada: 220 × 0,90 = 198 €
No vuelve al precio original. Pierde 2 €. Esto ocurre porque los porcentajes se aplican sobre cantidades distintas.
Repartos proporcionales
A veces hay que repartir una cantidad de forma proporcional a ciertos valores.
📘 Ejemplo
Reparte 600 € entre tres personas de forma directamente proporcional a 2, 3 y 5.
Total de partes: 2 + 3 + 5 = 10 Valor de cada parte: 600/10 = 60 €
donde: I = interés, C = capital, r = tipo de interés (en tanto por uno), t = tiempo (en años)
🌍 Aplicación en la vida real
Depositas 2.000 € en un banco al 3% anual de interés simple durante 4 años. ¿Cuánto interés ganarás? ¿Cuánto tendrás en total?
Interés: I = 2.000 × 0,03 × 4 = 240 € Capital total: 2.000 + 240 = 2.240 €
✏️ Ejercicios
1. Indica si la relación es directa o inversa: a) Velocidad y tiempo para recorrer una distancia fija. b) Número de libros comprados y precio total. c) Número de personas y ración de comida (con comida fija).
2. Si 3 pintores tardan 12 horas en pintar una fachada, ¿cuánto tardarán 4 pintores?
3. Un grifo llena un depósito en 6 horas. ¿Cuánto tardarán 3 grifos iguales?
4. Un coche a 90 km/h tarda 4 horas en un recorrido. ¿Cuánto tardaría a 120 km/h?
5. Calcula: a) El 35% de 480 b) ¿De qué cantidad es 45 el 15%? c) ¿Qué porcentaje es 27 de 180?
6. Un producto cuesta 80 €. Se aplica un descuento del 20% y luego un IVA del 21%. ¿Cuánto se paga?
7. Reparte 450 € de forma directamente proporcional a 1, 2 y 6.
8. Ingreso 5.000 € al 2,5% de interés simple anual. ¿Cuánto tendré tras 3 años?
9. Un artículo ha subido un 25%. Si ahora cuesta 75 €, ¿cuánto costaba antes?
10. Tres amigos invierten en un negocio: Ana pone 3.000 €, Luis 5.000 € y Marta 2.000 €. Si el beneficio es de 1.500 €, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
📋 Resumen de la lección
Proporcionalidad directa: más de una → más de la otra. Cociente constante.
Proporcionalidad inversa: más de una → menos de la otra. Producto constante.
Aumento del P%: C × (1 + P/100). Disminución del P%: C × (1 − P/100).
Un aumento seguido de una disminución del mismo porcentaje NO devuelve al valor original.
Interés simple: I = C × r × t.
Reparto proporcional: se divide la cantidad total entre la suma de las partes.
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