Ejemplos resueltos y ejercicios guiados - Potencias
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Introducción
En esta lección resolvemos paso a paso ejercicios de potencias de 2.º de ESO: cálculo de potencias de números enteros, aplicación de las propiedades y operaciones combinadas. Después tendrás dos ejercicios para practicar.
Explicación
Una potencia aⁿ es una multiplicación de n factores iguales a la basea; n es el exponente. Por ejemplo, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 (no 2 · 3 = 6).
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (misma base, se suman los exponentes).
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (misma base, se restan los exponentes).
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (potencia de potencia, se multiplican los exponentes).
aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ y aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ (mismo exponente).
a⁰ = 1 (si a ≠ 0) y a¹ = a.
Potencias de fracciones: se eleva el numerador y el denominador: (3/2)² = 9/4. Si la fracción es negativa, se aplica la misma regla de signos: (−1/2)³ = −1/8.
Orden en las operaciones combinadas: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas.
Cómo usar las propiedades paso a paso: 1) comprueba si las potencias tienen la misma base o el mismo exponente; 2) aplica la propiedad que corresponda, de izquierda a derecha; 3) cuando quede una sola potencia, calcula su valor si te lo piden. Si las bases son distintas, a veces se pueden escribir como potencias de la misma base: 8 = 2³ y 4 = 2², así que 8 · 4 = 2³ · 2² = 2⁵ = 32.
Potencias de 10: 10ⁿ es un 1 seguido de n ceros, por ejemplo 10⁵ = 100 000. Son muy útiles para escribir números grandes de forma abreviada: 7 000 000 = 7 · 10⁶.
Consejo: las propiedades solo valen para productos y cocientes. Para sumar o restar potencias hay que calcular cada una por separado.
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes de la geometría. Relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo y tiene innumerables aplicaciones prácticas.
Enunciado del teorema
🔢 Fórmula
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos:
c² = a² + b²
donde c = hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor) y a, b = catetos.
También podemos despejar para hallar un cateto:
🔢 Fórmula
a = √(c² − b²) b = √(c² − a²)
Aplicación directa: hallar la hipotenusa
📘 Ejemplo
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 c = √25 = 5 cm
Hallar un cateto
📘 Ejemplo
Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Problema: Una escalera de 5 m de largo se apoya en una pared. El pie de la escalera está a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?
Solución: La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. Hipotenusa = escalera = 5 m Un cateto = distancia del pie de la escalera a la pared = 3 m Otro cateto = altura = h
h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 h = √16 = 4 m
La escalera llega a una altura de 4 metros en la pared.
🌍 Aplicación en la vida real
Problema: Un barco navega 8 km hacia el este y luego 6 km hacia el norte. ¿A qué distancia está del punto de partida?
Los trayectos forman un ángulo recto (este y norte son perpendiculares). d² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100 d = √100 = 10 km
✏️ Ejercicios
1. Calcula la hipotenusa de triángulos rectángulos con catetos: a) 6 y 8 b) 5 y 12 c) 9 y 12 d) 8 y 15
2. Calcula el cateto desconocido: a) Hipotenusa = 10, cateto = 6 b) Hipotenusa = 17, cateto = 8
3. ¿Es rectángulo un triángulo con lados 7, 10 y 12? Justifica.
4. Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 cm × 12 cm.
5. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm.
6. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 5 cm.
7. Una cometa tiene forma de rombo con diagonales de 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
8. Un poste de 12 m está sujeto por un cable que va desde lo alto del poste hasta un punto del suelo a 9 m del poste. ¿Cuánto mide el cable?
9. Un campo de fútbol mide 100 m × 70 m. ¿Cuánto mide la diagonal?
10. Una rampa para sillas de ruedas tiene 12 m de longitud horizontal y 1 m de altura. ¿Cuánto mide la rampa (la superficie inclinada)?
📋 Resumen de la lección
El teorema de Pitágoras: c² = a² + b² (solo en triángulos rectángulos).
La hipotenusa es el lado mayor, opuesto al ángulo recto.
Para hallar un cateto: a = √(c² − b²).
Ternas pitagóricas: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.
Si c² = a²+b² es rectángulo; si c² < a²+b² es acutángulo; si c² > a²+b² es obtusángulo.
Se aplica en diagonales de rectángulos, alturas de triángulos, distancias...
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