El teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más importantes de la geometría. Relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo y tiene innumerables aplicaciones prácticas.
Enunciado del teorema
🔢 FórmulaEn todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos:
c² = a² + b²
donde c = hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor) y a, b = catetos.
También podemos despejar para hallar un cateto:
🔢 Fórmulaa = √(c² − b²) b = √(c² − a²)
Aplicación directa: hallar la hipotenusa
📘 EjemploUn triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5 cm
Hallar un cateto
📘 EjemploUn triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 13 cm y un cateto de 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
a² = c² − b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
a = √144 = 12 cm
Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica es un grupo de tres números naturales que cumplen el teorema de Pitágoras. Las más conocidas son:
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c | Comprobación |
|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 ✓ |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 ✓ |
📌 RecuerdaCualquier múltiplo de una terna pitagórica también es una terna pitagórica. Por ejemplo: 3, 4, 5 → 6, 8, 10 → 9, 12, 15 → ...
Comprobar si un triángulo es rectángulo
Dado un triángulo con lados a, b y c (c el mayor), se cumple:
- Si c² = a² + b² → es rectángulo.
- Si c² < a² + b² → es acutángulo.
- Si c² > a² + b² → es obtusángulo.
📘 Ejemplo¿Es rectángulo un triángulo de lados 9, 12 y 15?
c² = 15² = 225
a² + b² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
225 = 225 → Sí, es rectángulo.
Aplicaciones geométricas
📘 EjemploDiagonal de un rectángulo:
Un rectángulo mide 6 cm × 8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
d = √100 = 10 cm
📘 EjemploAltura de un triángulo equilátero:
Un triángulo equilátero tiene lado 10 cm. ¿Cuánto mide su altura?
La altura divide la base por la mitad (5 cm).
h² = 10² − 5² = 100 − 25 = 75
h = √75 = √(25×3) = 5√3 ≈ 8,66 cm
📘 EjemploDiagonal de un cuadrado:
Un cuadrado tiene lado 7 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?
d² = 7² + 7² = 49 + 49 = 98
d = √98 = √(49×2) = 7√2 ≈ 9,90 cm
🌍 Aplicación en la vida realProblema: Una escalera de 5 m de largo se apoya en una pared. El pie de la escalera está a 3 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?
Solución: La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo.
Hipotenusa = escalera = 5 m
Un cateto = distancia al suelo = 3 m
Otro cateto = altura = h
h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
h = √16 = 4 m
La escalera llega a una altura de 4 metros en la pared.
🌍 Aplicación en la vida realProblema: Un barco navega 8 km hacia el este y luego 6 km hacia el norte. ¿A qué distancia está del punto de partida?
Los trayectos forman un ángulo recto (este y norte son perpendiculares).
d² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
d = √100 = 10 km
✏️ Ejercicios1. Calcula la hipotenusa de triángulos rectángulos con catetos:
a) 6 y 8 b) 5 y 12 c) 9 y 12 d) 8 y 15
2. Calcula el cateto desconocido:
a) Hipotenusa = 10, cateto = 6 b) Hipotenusa = 17, cateto = 8
3. ¿Es rectángulo un triángulo con lados 7, 10 y 12? Justifica.
4. Calcula la diagonal de un rectángulo de 9 cm × 12 cm.
5. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 6 cm.
6. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 5 cm.
7. Una cometa tiene forma de rombo con diagonales de 30 cm y 40 cm. ¿Cuánto mide cada lado?
8. Un poste de 12 m está sujeto por un cable que va desde lo alto del poste hasta un punto del suelo a 9 m del poste. ¿Cuánto mide el cable?
9. Un campo de fútbol mide 100 m × 70 m. ¿Cuánto mide la diagonal?
10. Una rampa para sillas de ruedas tiene 12 m de longitud horizontal y 1 m de altura. ¿Cuánto mide la rampa (la superficie inclinada)?
📋 Resumen de la lección- El teorema de Pitágoras: c² = a² + b² (solo en triángulos rectángulos).
- La hipotenusa es el lado mayor, opuesto al ángulo recto.
- Para hallar un cateto: a = √(c² − b²).
- Ternas pitagóricas: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.
- Si c² = a²+b² es rectángulo; si c² < a²+b² es acutángulo; si c² > a²+b² es obtusángulo.
- Se aplica en diagonales de rectángulos, alturas de triángulos, distancias...