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Introducción
En esta lección repasamos lo esencial de las fracciones (significado, equivalencia, simplificación y operaciones) y lo ampliamos con operaciones combinadas y problemas de «fracción de una cantidad» y «fracción del resto».
Explicación
Resumen de conceptos
Una fracción a/b indica que dividimos la unidad en b partes iguales (denominador) y tomamos a (numerador).
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Se comprueba con los productos cruzados: 2/3 y 6/9 lo son porque 2 · 9 = 3 · 6.
Simplificar es dividir numerador y denominador por un divisor común. Si dividimos por el máximo común divisor obtenemos la fracción irreducible: 12/18 = 2/3 (m.c.d. = 6).
Para comparar fracciones las pasamos a común denominador: 3/4 = 9/12 y 2/3 = 8/12, luego 3/4 > 2/3.
Operaciones
Suma y resta: se reducen a común denominador (con el m.c.m.) y se suman o restan los numeradores: 1/4 + 5/6 = 3/12 + 10/12 = 13/12.
Producto: numerador por numerador y denominador por denominador: 2/5 · 3/4 = 6/20 = 3/10.
Cociente: se multiplica la primera por la inversa de la segunda: 3/5 : 1/5 = 3/5 · 5/1 = 15/5 = 3.
Ampliación
Jerarquía: primero paréntesis, después productos y cocientes y, por último, sumas y restas.
Fracción de una cantidad: 3/5 de 40 = 40 : 5 · 3 = 24.
Inversa de una fracción: se intercambian numerador y denominador; el producto de una fracción por su inversa es 1: 3/7 · 7/3 = 1.
Problemas de «parte que falta»: si se conocen varias partes de un total, la parte que falta es 1 menos la suma de las conocidas: si 1/3 y 1/4 de un grupo ya han votado, falta 1 − 7/12 = 5/12.
Fracción de una fracción: la mitad de 2/3 es 1/2 · 2/3 = 1/3.
Fracción y decimal: toda fracción puede escribirse como número decimal dividiendo el numerador entre el denominador: 3/4 = 0,75.
Fracción del resto: si se gasta una parte, la siguiente fracción se aplica a lo que queda, no al total.
Ejemplo
Ejemplo 1. Calcula 1/2 + 3/4 : 3/2. Primero el cociente: 3/4 : 3/2 = 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2. Después la suma: 1/2 + 1/2 = 1.
Ejemplo 2. Marta tiene 60 €. Gasta 1/4 en un libro y 2/5 de lo que le queda en una camiseta. ¿Cuánto dinero le sobra? Libro: 60 : 4 = 15 €. Le quedan 60 − 15 = 45 €. Camiseta: 2/5 de 45 = 45 : 5 · 2 = 18 €. Le sobran 45 − 18 = 27 €.
Ejercicios
Calcula 2/3 + 1/2 · 4/5.
En una clase de 30 alumnos, 2/5 van al instituto andando y 1/3 del resto va en autobús. ¿Cuántos alumnos van en autobús?
Material adicional
Ecuaciones lineales y sistemas (introducción)
Una ecuación de primer grado (o lineal) es una igualdad con una incógnita donde el mayor exponente de la incógnita es 1. En 2.º de ESO trabajamos con ecuaciones más complejas e introducimos los sistemas de ecuaciones.
Ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores
La forma general es ax + b = 0, cuya solución es x = −b/a. Pero las ecuaciones reales suelen tener paréntesis, denominadores y términos en ambos miembros.
Método de resolución
Eliminar paréntesis (propiedad distributiva).
Eliminar denominadores (multiplicar todo por el mcm de los denominadores).
Agrupar términos: incógnitas a un lado, números al otro.
Simplificar y despejar la incógnita.
Comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.
Paso 3: Pasamos las x a un lado: −3x + 4x = 20 + 8 x = 28
Problemas con ecuaciones
🌍 Aplicación en la vida real
Problema: Un padre tiene 40 años y su hijo 12. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Planteamiento: Dentro de x años: padre → 40 + x, hijo → 12 + x Ecuación: 40 + x = 3(12 + x)
Resolución: 40 + x = 36 + 3x 40 − 36 = 3x − x 4 = 2x → x = 2 años
Comprobación: dentro de 2 años → Padre: 42, Hijo: 14 → 42 = 3 × 14 ✓
Introducción a los sistemas de ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. La solución es el par de valores (x, y) que satisface ambas ecuaciones a la vez.
🔢 Fórmula
Sistema general: a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂
Método de sustitución
De una ecuación, se despeja una incógnita.
Se sustituye en la otra ecuación.
Se resuelve la ecuación resultante (una sola incógnita).
Se sustituye el valor hallado para obtener la otra incógnita.
📘 Ejemplo
Resuelve el sistema: x + y = 10 2x − y = 5
Paso 1: De la 1.ª ecuación despejamos y: y = 10 − x Paso 2: Sustituimos en la 2.ª: 2x − (10 − x) = 5 Paso 3: Resolvemos: 2x − 10 + x = 5 → 3x = 15 → x = 5 Paso 4: y = 10 − 5 = 5
Solución: x = 5, y = 5 Comprobación: 5 + 5 = 10 ✓ 2(5) − 5 = 5 ✓
Método de reducción (igualación de coeficientes)
📘 Ejemplo
Resuelve el sistema: 3x + 2y = 16 5x − 2y = 24
Observación: los coeficientes de y son opuestos (+2 y −2). Sumamos ambas ecuaciones: 3x + 2y + 5x − 2y = 16 + 24 8x = 40 → x = 5
1. Resuelve: a) 5(x − 1) = 3(x + 3) b) 2(3x − 4) − 3(x − 2) = 10
2. Resuelve (con denominadores): a) x/2 + x/3 = 5 b) (x + 1)/4 − (x − 3)/6 = 1 c) (2x − 1)/5 = (x + 2)/3
3. La suma de dos números es 45 y su diferencia es 13. ¿Cuáles son?
4. El triple de un número menos 7 es igual al doble de ese número más 5. Halla el número.
5. Resuelve el sistema por sustitución: x + 2y = 8 3x − y = 9
6. Resuelve el sistema por reducción: 2x + 3y = 13 4x − 3y = 5
7. Una entrada de adulto cuesta 8 € y una de niño 5 €. Si se venden 50 entradas por un total de 316 €, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?
8. La suma de las edades de dos hermanos es 25 años. El mayor tiene 3 años más que el menor. ¿Cuántos años tiene cada uno?
9. Resuelve: (3x + 2)/4 − (2x − 1)/6 = 2
10. En un examen de 20 preguntas, cada acierto vale 1 punto y cada fallo resta 0,25 puntos. Si un alumno ha contestado todas y tiene 15 puntos, ¿cuántas ha acertado y cuántas ha fallado?
📋 Resumen de la lección
Para resolver ecuaciones con paréntesis y denominadores: distribuir, multiplicar por mcm, agrupar, despejar.
Siempre comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.
Un sistema de ecuaciones tiene dos ecuaciones y dos incógnitas.
Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituir en la otra.
Método de reducción: sumar/restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
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