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Introducción
En esta lección repasaremos los conceptos clave de las fracciones, su representación y cómo simplificarlas. Además, ampliamos el contenido con ejemplos de equivalencia y operaciones básicas. El objetivo es consolidar los conocimientos para usarlos con seguridad en ejercicios posteriores.
Explicación
Las fracciones expresan una parte de un todo. Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque sus numeradores y denominadores sean diferentes. Simplificar consiste en dividir numerador y denominador por su máximo común divisor para obtener la forma más reducida.
Ejemplo
Ejemplo: Simplificar 12/18. El MCD de 12 y 18 es 6, por lo que 12÷6=2 y 18÷6=3. La fracción simplificada es 2/3.
Ejercicios
Calcula 1/2 × 2/3.
Calcula 3/5 ÷ 1/5.
Material adicional
Ecuaciones lineales y sistemas (introducción)
Una ecuación de primer grado (o lineal) es una igualdad con una incógnita donde el mayor exponente de la incógnita es 1. En 2.º de ESO trabajamos con ecuaciones más complejas e introducimos los sistemas de ecuaciones.
Ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores
La forma general es ax + b = 0, cuya solución es x = −b/a. Pero las ecuaciones reales suelen tener paréntesis, denominadores y términos en ambos miembros.
Método de resolución
Eliminar paréntesis (propiedad distributiva).
Eliminar denominadores (multiplicar todo por el mcm de los denominadores).
Agrupar términos: incógnitas a un lado, números al otro.
Simplificar y despejar la incógnita.
Comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.
Paso 3: Pasamos las x a un lado: −3x + 4x = 20 + 8 x = 28
Problemas con ecuaciones
🌍 Aplicación en la vida real
Problema: Un padre tiene 40 años y su hijo 12. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?
Planteamiento: Dentro de x años: padre → 40 + x, hijo → 12 + x Ecuación: 40 + x = 3(12 + x)
Resolución: 40 + x = 36 + 3x 40 − 36 = 3x − x 4 = 2x → x = 2 años
Comprobación: dentro de 2 años → Padre: 42, Hijo: 14 → 42 = 3 × 14 ✓
Introducción a los sistemas de ecuaciones
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. La solución es el par de valores (x, y) que satisface ambas ecuaciones a la vez.
🔢 Fórmula
Sistema general: a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂
Método de sustitución
De una ecuación, se despeja una incógnita.
Se sustituye en la otra ecuación.
Se resuelve la ecuación resultante (una sola incógnita).
Se sustituye el valor hallado para obtener la otra incógnita.
📘 Ejemplo
Resuelve el sistema: x + y = 10 2x − y = 5
Paso 1: De la 1.ª ecuación despejamos y: y = 10 − x Paso 2: Sustituimos en la 2.ª: 2x − (10 − x) = 5 Paso 3: Resolvemos: 2x − 10 + x = 5 → 3x = 15 → x = 5 Paso 4: y = 10 − 5 = 5
Solución: x = 5, y = 5 Comprobación: 5 + 5 = 10 ✓ 2(5) − 5 = 5 ✓
Método de reducción (igualación de coeficientes)
📘 Ejemplo
Resuelve el sistema: 3x + 2y = 16 5x − 2y = 24
Observación: los coeficientes de y son opuestos (+2 y −2). Sumamos ambas ecuaciones: 3x + 2y + 5x − 2y = 16 + 24 8x = 40 → x = 5
1. Resuelve: a) 5(x − 1) = 3(x + 3) b) 2(3x − 4) − 3(x − 2) = 10
2. Resuelve (con denominadores): a) x/2 + x/3 = 5 b) (x + 1)/4 − (x − 3)/6 = 1 c) (2x − 1)/5 = (x + 2)/3
3. La suma de dos números es 45 y su diferencia es 13. ¿Cuáles son?
4. El triple de un número menos 7 es igual al doble de ese número más 5. Halla el número.
5. Resuelve el sistema por sustitución: x + 2y = 8 3x − y = 9
6. Resuelve el sistema por reducción: 2x + 3y = 13 4x − 3y = 5
7. Una entrada de adulto cuesta 8 € y una de niño 5 €. Si se venden 50 entradas por un total de 316 €, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?
8. La suma de las edades de dos hermanos es 25 años. El mayor tiene 3 años más que el menor. ¿Cuántos años tiene cada uno?
9. Resuelve: (3x + 2)/4 − (2x − 1)/6 = 2
10. En un examen de 20 preguntas, cada acierto vale 1 punto y cada fallo resta 0,25 puntos. Si un alumno ha contestado todas y tiene 14,5 puntos, ¿cuántas ha acertado y cuántas ha fallado?
📋 Resumen de la lección
Para resolver ecuaciones con paréntesis y denominadores: distribuir, multiplicar por mcm, agrupar, despejar.
Siempre comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.
Un sistema de ecuaciones tiene dos ecuaciones y dos incógnitas.
Método de sustitución: despejar una incógnita en una ecuación y sustituir en la otra.
Método de reducción: sumar/restar las ecuaciones para eliminar una incógnita.
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